探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学实录

科目

数学

重点

课题

§4.8正弦函数、余弦函数的图象与性质

正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）

1．

利用正弦线画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象；

2．

利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线；

3．

周期函数与（最小正）周期的意义。

充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图画法的安排），通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图象性质。

教

材

分

析

难点

关键点

教

学

目

标

1．

用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；

2．

用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；

3．

正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系；

知识目标

4．

正弦函数和余弦函数的性质；

5．

周期函数的定义、周期函数的周期和最小正周期的定义，正弦函数和余弦函数的周期的求法。

1．

了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；

2．

理解周期函数与（最小正）周期的意义，并通过正弦曲线、余弦曲线能力目标

了解正弦函数、余弦函数的性质；

3．

会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间[0，2π]上的简图。

情感目标

使学生进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辨证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。

教法

多媒体教学

教学设备

教与

学过

程设

计

课时安排

4课时

具体见下

教学

后记

教与学过程设计

第一课时

正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）

（一）引入课题

电脑演示一次函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数的图象，并指出研究一种函数，我们都会去研究它的性质，如：定义域、值域、奇偶性、单调性等，而研究这些性质有一个很好的工具就是——函数图象。那么，三角函数的图象究竟是怎样的呢？它的定义域、值域、奇偶性、单调性又是如何的呢？今天，我们就一起来学习这部分内容。

（二）复习旧知

在此之前我们先复习一些必要的知识。

1．电脑演示正弦线、余弦线的定义，同时说明：当角度变化时，对应的线段MP的长度就是这个角度的正弦值。

2．电脑演示作出点（3,sin3），为作正弦函数图象作铺垫。

（6分钟）

（三）新课

一、正弦函数的图象

下面我们一起来画正弦函数的图象。（边操作边讲解）

说明：1、这里将单位圆12等分，如果分得越细，则图象越精确，就像描点法作函数图象，点描得越多，图象越精确；

2、描点；

3、作图。

提问：我们作出了正弦函数在区间0,2上的图象，但正弦函数对任意角均有值，即定义域为？（实数集R）如何作在其他区间上的函数图象呢？由终边相同的角的三角函数值相等知：在区间2,4上其函数图象与在0,2上是一样的，在2,0上也一样，在其他区间上也是一样。每隔2π正弦函数的图象就出现一次重复，如此充满整个实数轴。可以想象，正弦函数的图象是怎样的？（电脑演示完整的正弦函数图象）

说明：正弦函数的图象叫做正弦曲线。

二、五点法作正弦函数图象

可以看出这种方法作三角函数图象是比较精确的，我们称之为：几何法。虽然几何法作图精确，但太麻烦，不容易操作。有没有简单点的方法作三角函数的图象呢？

请同学们观察在[0，2π]上正弦函数的图象，它上面哪几个点对函数图象的确定起关键作用？为什么？（基本确定图象的形状）[电脑显示这五个点，以示突出]所以我们只要画出这五个点，这个图形就基本确定了。因此，在精确度要求不太高时（画草图），我们一般可采用这种方法来画三角函数图象帮助我们分析。这种方法要比我们刚才的几何法简单得多，我们称之为：五点法。

三、余弦函数的图象

正弦函数的图象已经得到了，那我们当然急切地知道，余弦函数的图象是怎样的？别急，我们马上来研究。我们知道，正余弦函数有着十分密切的关系，正弦可以通过一些诱导公式转化为余弦，因此我们猜想它们的图象也应该有着某种联系。

下面先设法找到函数y=cosx与正弦函数y=sinx之间的关系。

ysin(x2)cosx，由此可见：函数y=cosx与函数ysin(2x)是同一个函数，

因此它们的图象应该是一样的。也就是说，余弦函数的图象可以由正弦曲线向左平移单位得到。（电脑演示，将正弦曲线进行平移）余弦函数的图象叫做余弦曲线。

同样在[0，2π]上的余弦曲线上哪几个点起关键作用？为什么？

练习：

在同一直角坐标系内，用五点法分别画出函数

个23ysinx,x0,2，ycosx,x,的简图。

22说明：

1、学生练习，教师稍后电脑演示（注意指出哪五点）；2、提问：这两条曲线有何关系？

四、正弦函数、余弦函数的主要性质

（计算机显示正余弦函数的图象）请同学们观察正余弦函数的图象，讨论解决以下几个问题，稍后请两组各推选一名代表作总结。

（1）

这两个函数的定义域分别是什么？

（2）

它们的值域分别是什么？最大值、最小值是多少，此时自变量x等于什么？

（3）

它们的奇偶性如何？为什么？

（4）

它们的单调性如何？它有什么特殊的地方？为什么会有这种周期性？（图象本身或者说函数本身就存在周期性）

（5）

这两个函数还有没有与其他函数不一样的性质？（提示：我们一直在强调的；或从图象上看？）——教师引导出周期性（先感性认识，不深入）

说明：

1、学生总结后，各小组派代表阐述结论，其他同学补充；

2、教师归纳；（电脑显示正弦函数的性质）

（五）作业

1．

复习P48-52；

2．

课件上的补充题。

第二课时

正弦函数、余弦函数的图象与性质（二）

（一）复习与引入

上节课，我们学习了两种作正余弦函数的图象的方法，其中我们经常要用到的是五点法作图。（一图了事）

教师在黑板上用五点法画出函数y=sinx，y=cosx的图象（列表、描点、连线），同时说明五个关键点的坐标。强调作正余弦函数要抓住五个关键点。

（二）新课

一、正余弦函数作图

例1 画出下列函数的简图

（1）y=1+sinx,x∈[0,2π]; (2)y=-cosx,x∈[0,2π]. 说明：

1、第（1）题由教师演示（列表，描点，作图），第（2）题由学生自行完成，教师校对；

2、作正弦、余弦函数的图象必须抓住五个关键点；

3、第（1）题中的函数与函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象之间有何关系？（由函数y=sinx,x∈[0,2π]上的每一点向上平移一个单位长度或图象向上平移一个单位长度）第（2）题中的函数与函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象之间有何关系？（关于x轴对称）

4、口答：请根据函数y=sinx，y=cosx的图象，画出函数y=sinx-1，y=1-cosx的图象。

5、推广并归纳：y=sinx+m，y=cosx+n可由y=sinx，y=cosx经过怎样的变换而得到？（在y轴上平行移动）若在自变量x上加上某个实数则在x轴上作平行移动，如ysin(x2),ycos(x3),cos(x1)；y=-sinx+m，y=-cosx+n呢？

26、学生练习：P56练习3，学生板演，教师讲评。

二、正余弦函数的周期性

函数y=sinx，y=cosx的周期（最小正周期）均为2π，换句话说，自变量x只要并且至少要增加到x+2π，正余弦函数的值才能重复取得。

1、周期性是三角函数的一个特殊性质，正是由于这个特殊性质的存在，使得正弦、余弦函数的图象、性质呈现出一种不断重复的特性。正是由于周期性，对三角函数的某些性质的解释也就顺理成章了。（极值、单调性的反复出现）

2、正余弦函数的周期性（突破重点与难点）

正余弦函数的这种特性可由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)来解释，正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复取得的，我们作图也是按此性质画出的。像正弦、余弦这种函数我们称为周期函数。若记f（x）=sinx，上式如何表达？

（f（x+2kπ）=f（x），其中2kπ就是周期）同学们能不能用一条数学式子将周期函数表达出来？

教师引导：对于任一个函数f（x），若它是周期函数，周期为T。则它在定义域内的任一点x上的函数值与它在此基础上过了一个周期的函数值是相等的，即f(x)=f(x+T)。下面请同学们给出周期函数的定义：

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T) = f(x)，

那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T就叫做这个函数的周期。

例如，2π，4π，…-2π，-4π…等都是正弦函数和余弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。例如正余弦函数的最小正周期就是2π。今后如不加特别说明，周期即指最小正周期。

周期函数的定义与奇函数、偶函数的定义有类似的地方：

函数f(x)对于定义域内的每一个值，都有：

f（-x）=-f（x），则为奇函数；f（-x）=f（x），则为偶函数；f（x+T）=f（x），则为周期函数。

例3

判断下列语句的正误，并说明理由：

；（错，对定义域内的每一个424233)sin值x都要满足f(x+T) =f(x)，只个别满足不能说T是它的周期，如sin(）

424（1）∵sin()sin，∴函数y=sinx的周期为（2）任何周期函数均有最小正周期；（错，反例：常数函数f(x)=c）

（3）若T（T≠0）是函数f(x)的周期，则nT（n∈Z且n≠0）也是它的周期。（对，简证：∵f(x+T) =f(x)，∴f(x+2T) =f[(x+T)+T]= f(x+T) =f(x)，同样f(x+3T)= f[(x+2T)+T]= f(x+2T)= f(x)，以此类推f(x+nT)= f(x)，所以nT也是它的周期）

例4

求下列函数的周期：

（1）

y=3cosx，x∈R；

（2）

y=sin2x，x∈R；

（3）

y2sin(1x),xR

26处理：1、利用换元思想，令整个式子为z，当z只要并且至少要增加到z+2π时，自变量x只要并且至少要增加到多少；

2、最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小的正数，这个最小的正数是相对x来讲的；

3、由此可知，这些函数的周期只与自变量x的系数有关，一般地，对于函数

yAsin(x),xR与yAsin(x),xR

令z=x，当z只要并且至少要增加到z+2π，而此时z+2π=（x）+2π=(x2)，即自变量x只要并且至少要增加到x2，函数值才能重复取得，即T

2是能使等式

Asin[(x2)]Asin(x)及Acos[(x2)]Acos(x)

成立的最小正数。从而函数yAsin(x),xR及yAsin(x),xR的周期T

2。

根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期。如，例3中（1）（2）（3）的周期分别为2,21,24。

22学生练习：P56练习5 说明：1、学生练习后校对，进一步说明三角函数的周期只与自变量x的系数有关；

2、补充题：已知函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(5)2，求

f(1)f(3)f(2n1)的值。（2n）

（三）作业

1．

复习课本

2．

P57-58习题4.8 第1、3题

3．

每课一练（一）

第三课时

正弦函数、余弦函数的图象与性质（三）

（一）新课

作出正余弦函数在[0，2π]上的图象，从图中我们可以得到正弦函数、余弦函数的许多性质：

1．定义域：y=sinx，x∈R，y=cosx，x∈R；（板书）

2．值域：函数y=sinx，y=cosx的值域都是[-1，1]；（板书）

说明：

1、函数y=sinx，y=cosx何时取到最大值，最小值？（板书）

2、y=3sinx，y=1-2cosx的值域呢？

3、例1 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么？

（1）y=cosx+1，x∈R；

（2）y=sin2x，x∈R；

（3）y=-2sin2x+1，x∈R. 说明：三角函数的最值与相位无关（图象说明是左右平移），与振幅、后系数有关（图象说明是伸缩与上下平移）

学生练习：P56练习4（口答）

4、进一步：y2sinx，ye2cos3x

3．奇偶性：从图象看，正弦函数关于原点对称，故正弦函数是奇函数；余弦函数关于y轴对称，故余弦函数是偶函数。根据诱导公式sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx也可得出相同结论。

学生练习：判断下列函数的奇偶性：

（1）ycos(x

2),xR；（奇）

（2）y3sin2x,xR（奇）

513sin）

634．单调性：由正余弦曲线可以看出各自的单调性。

口答（判断正误）：正弦函数在第一象限是单调递增的。（反例：sin说明：单调性只能在区间上说明，而不能说在某象限此函数的单调性。

例2

不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：

（1）sin()；

18102317（2）cos()cos(). 54)sin(说明：

1、此题实质是根据函数的单调性比较函数值的大小，也可以通过图象来判断；

2、在角度（自变量）比较简单时，可以直接找单调区间；若比较复杂，则可以通过诱导公式将角度化得简单后再比较。

3、进一步：比较下列各数的大小：sin2，sin3，sin4（sin2>sin3>sin4，图象来解）

（二）解题训练

1、P56-57第1、2、4、6、7、8题

2、P57-58第2、3、4、6题

（三）作业

1、解题训练剩下的例题

2、每课一练（打勾的题）

第四课时

（一）例题解析

例1

正弦函数、余弦函数的图象与性质（四）

求函数ysinx3cos（x∈R）的值域。

说明：1、教师引导解决，再给出

ysinxcosx（x∈R）让学生求值域；

2、归纳函数yasinxbcosx（x∈R）的值域为a2b2,a2b2

3、求函数y制。

4、学生练习：求函数f(x)2cos2x5sinx4的最大值、最小值；进一步，加限制条件x3sinxcosx(x,)的值域，指出求函数值域要注意定义域的限225,2；

65、求例1中的函数的最值，取得最值时x的取值范围；再求函数f(x)2cos2x5sinx4（x5,2）取得最值时x的取值范围。

6求下列函数的周期

例2

（1）y1sinxcosx；

2

（2）ysinxcosx；

（4）ysinx2sinxcosx3cosx

，对于比较复杂的函数要化简成熟悉的；

42244（3）y|sinx|；

说明：1、求三角函数周期根据公式T422、将第（2）题进一步改写成ysinxcosx求周期；

3、第（3）题用图象来说明（x轴下方的翻到上方），进一步变为y|sin2x|，y3|sin2x|，y3|sin2x|1，并说明周期只跟x的系数有关；

4、作为巩固。

例3

求函数f(x)sinx3lg(2cosx2)的定义域。

2答案：

说明：利用函数图象来解会使问题直观、明了，利用数形结合思想来解题在《三角函数》这一章中有广泛的应用；

三角函数特有的周期性使其许多性质也出现周期性变化，这一点特别要引起同学们的注意。

例4

已知函数f(x)5sinxcosx53cosx253(xR)

2（1）求f（x）的最小正周期；

（2）确定函数f（x）的递增区间。