2. 万有引力定律教学设计实例

3

万有引力定律的应用

[学习目标]

1.了解重力等于万有引力的条件.2.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.3.理解“计算天体质量”的基本思路.4.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路.

一、计算天体质量

[导学探究]

卡文迪许在实验室测量出了引力常量G的值，他自称是可以称量地球质量的人，他“称量”的依据是什么？要测量地球质量，还需要知道什么量？

答案

若忽略地球自转的影响，在地球表面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物GMmgR2体的引力，即mg＝2，所以有M＝.要测量地球质量除需要知道引力常量G，还需要RG知道地球表面的重力加速度g及地球半径R. [知识梳理]

利用重力加速度g计算地球质量

GMmgR2在地球表面附近，忽略地球自转的影响，由mg＝2得M＝，若g、R已知，则可计算RG出地球的质量. 注：

此方法也可应用于其它天体. [即学即用]

设地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106

m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量. 62gR29.8×6.4×10答案

M＝＝

kg≈6.0×1024 kg. －11G6.67×10二、计算天体的质量和密度

[导学探究]

如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，你能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？

Gm地M太4π2M太4π2r3答案

由＝2m地r知M太＝2.由密度公式ρ＝可知，若求太阳的密度还需要2rTGT43πR3太知道太阳的半径. [知识梳理]

天体质量和密度的计算

(1)天体质量的计算

行星围绕太阳(或卫星围绕地球)的运动可以看成是匀速圆周运动，其向心力由太阳对行星(或Mm4π2地球对卫星)的万有引力提供，因此有G2＝mr2，测出行星(或卫星)的周期T和轨道半径rT

4π2r3r，就可以算出太阳(或地球)的质量M＝2. GT(2)密度的计算

M若太阳(或地球)的半径为R，则代入公式ρ＝即可得太阳(或地球)的密度. 43πR3

[即学即用]

已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有(

) A.月球的质量

C.地球的半径

答案

B Mm4π24π2R3解析

由天体运动规律知G2＝m2R可得地球质量M＝，由于不知地球的半径，无RTGT2法求地球的密度，故选项B正确. B.地球的质量

D.地球的密度

一、天体质量和密度的计算

例1

假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G. (1)则该天体的密度是多少？

(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？

解析

设卫星的质量为m，天体的质量为M. Mm4π24π2R3(1)卫星贴近天体表面运动时有G2＝m2R，M＝

RT1GT214根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3

3M4π2R33π故该天体的密度为ρ＝＝＝2. V43GT1GT21·πR3(2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有

Mm4π2G＝m2(R＋h) T2R＋h24π2R＋h3M＝

GT22M4πR＋h3πR＋hρ＝＝＝23

VGT2R243GT2·πR3233

3πR＋h33π答案

(1)2

(2)3

GT1GT22R例2

有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：

(1)星球半径与地球的半径之比；

(2)星球质量与地球质量之比. gR2GGMmgR2M3g3gR3g4πGρ地解析

(1)由2＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝·＝RGV434πGR4πGρR地4πGρ3g地πR3g4＝. g地1gR2MgR2G64(2)结合题意，该星球半径是地球半径的4倍.根据M＝得＝·2＝

GM地Gg地R地1464答案

(1)

(2)

11[技巧点拨]

GMm1.利用mg＝2计算天体的质量

RGMmgR2若天体表面的重力加速度为g，半径为R，则由mg＝2得天体的质量M＝，再由MRG43g＝ρ·πR3，得天体的密度ρ＝. 34πGRGMm4π2mr2.利用2＝2计算天体的质量

rT(1)某个行星(或卫星)绕某一中心天体做匀速圆周运动时，两个天体间的万有引力充当向心力，Mm4π24π2r3即G2＝2mr则M＝2

rTGT(2)若已知中心天体的半径为R，则其密度为ρ＝4πR3M3πr3＝23

GTR3注意

R、r的意义不同，一般R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕天体3π表面轨道运行，则有R＝r，此时ρ＝2. GT二、天体运动的分析与计算

例3

如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是(

)

图1 A.a、b的线速度大小之比是2∶1 B.a、b的周期之比是1∶22 C.a、b的角速度大小之比是36∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2 v2v1GMm解析

由2＝m得＝rrv22π2T1GMm由2＝mrT得T2＝rGMmω1由2＝mrω2得＝rω2r2＝r1r3213＝r233R＝2R3，故A错误. 22，故B错误. 3r3236＝，故C正确. r341GMma1r292由2＝ma得＝2＝，故D错误. ra2r14答案

C

1.一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(

) A.测定飞船的运行周期

C.测定行星的体积

答案

A Mm4π243π解析

取飞船为研究对象，由G2＝mR2及M＝πR3ρ，知ρ＝2，故选A. RT3GT2.如图2所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是(

) B.测定飞船的环绕半径

D.测定飞船的运行速度

图2 A.太阳对各小行星的引力相同

B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

答案

C Mm解析

根据万有引力定律F＝G2可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有r引力不同，A项错误；设太阳的质量为M，小行星的质量为m，由万有引力提供向心力，则

Mm4π2G2＝m2r，则各小行星做匀速圆周运动的周期T＝2π

rTr3，因为各小行星的轨道半径GMr大于地球的轨道半径，所以各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的周期，B项错误；向FMMm心加速度a＝＝G2，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C项正确；由G2＝mrrv2m得小行星的线速度v＝

rGM，小行星做圆周运动的轨道半径大于地球的公转轨道半径，r线速度值小于地球绕太阳公转的线速度值，D项错误. 3.(多选)如图3所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的(

)

图3 A.速度大

C.运行周期长

答案

CD 解析

飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引＝F，

mv4π2mrMm所以G2＝ma＝＝2＝mrω2，

rrTGM即a＝2，v＝

rω＝

GM，T＝

r4π2r3，

GM2B.向心加速度大

D.角速度小

GM2π求解). 3(或用公式T＝rω因为r1v2，a1>a2，T1ω2，选项C、D正确. 4.把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5×108

km，已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N· m2/ kg2，地球绕太阳公转一周为365天，则可估算出太阳的质量大约是多少

kg？(结果取一位有效数字) 答案

2×1030 kg 解析

题中给出地球轨道半径：r＝1.5×108

km，地球绕太阳公转一周为365天，即周期T＝365×24×3600 s≈3.15×107 s. Mm2π根据万有引力提供向心力G2＝m()2r

rT4π2r3故太阳的质量为M＝2

GT

4×3.142×1.5×1011330＝－1172

kg≈2×10 kg 6.67×10×3.15×10

一、选择题(1～6为单项选择题，7～10为多项选择题) 1.若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得(

) A.该行星的质量

C.该行星的平均密度

答案

B Mm4π24π2r3解析

G2＝m2r，M＝2，A错，B对；由于该行星的质量和体积、太阳的半径未知，rTGT所以C、D错. 2.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(

) mv2mv4Nv2Nv4A.

B.

C.

D.

GNGNGmGm答案

B 解析

设卫星的质量为m′

Mm′v2由万有引力提供向心力，得G2＝m′①

RRv2m′＝m′g②

R由已知条件：m的重力为N得

N＝mg③

mvN由③得g＝，代入②得：R＝

mNmv4代入①得M＝，故B项正确. GN3.如图1所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是(

) 2B.太阳的质量

D.太阳的平均密度

图1

A.甲的向心加速度比乙的小

B.甲的运行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙的大

D.甲的线速度比乙的大

答案

A 解析

甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做v2Mm4π2GM2匀速圆周运动的向心力.由牛顿第二定律G2＝ma＝m2r＝mωr＝m，可得a＝2，TrTrr＝2π

甲r3，ω＝

GMGM，v＝

r3GM.由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，vr＜v乙，故正确选项为A. 4.宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的航天飞机中，处于完全失重状态，则下列说法中正确的是(

) A.宇航员有受重力作用

B.宇航员受到平衡力的作用

C.宇航员不受任何力作用

D.宇航员所受的重力提供向心力

答案

D 5.据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”.该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1，母星的体积约为太阳480的60倍.假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(

) 360A.轨道半径之比约为

480B.轨道半径之比约为

360

48023C.向心加速度之比约为60×4802

3D.向心加速度之比约为60×480 答案

B 3GMT2Mm2π2解析

由公式G2＝m()r，可得通式r＝

，设“55 Cancri e”的轨道半径为r1，rT4π23M1T2360r1Mm1地球轨道半径为r2，则＝

·2＝

2，从而判断A错，B对；再由G2＝ma得r2M2T2480r

3M1T43Ma1M1r222a＝G2，则＝·2＝

·4＝60×4804，所以C、D皆错. ra2M2r1M2T16.若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(

) R3t2R3T2R3t2R2T3A.32

B.32

C.23

D.23

rTrtrTrt答案

A GMm4π2R0R30解析

无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，统一的公式为2＝m2，即M∝2，R0T0T0M日R3t2所以＝32. M地rT7.下列说法正确的是(

) A.海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的

B.天王星是人们依据万有引力计算的轨道而发现的

C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用

D.以上均不正确

答案

AC 解析

人们在长期的观察中发现天王星的实际运行轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差，所以怀疑在天王星周围还可能存在其他行星，然后应用万有引力定律，结合对天王星的观测资料，便计算出了另外两颗行星的轨道，进而在计算的位置观察新的行星，即海王星和冥王星.故A、C正确；天王星是在一个偶然的情况下被发现的，是观测的结果，不是依据万有引力计算的轨道而发现的，故B错误；综上所述D错误. 8.要计算地球的质量，除已知的一些常数外还需知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的是(

) A.已知地球半径R

B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v

C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T

D.已知地球公转的周期T′及运转半径r′

答案

ABC 解析

设相对于地面静止的某一物体质量为m，地球的质量为M，根据地面上的物体所受MmgR2万有引力和重力近似相等的关系得，G2＝mg，解得M＝，所以选项A正确；设卫星RGv2v2rGMm的质量为m，根据万有引力提供卫星运转的向心力，可得2＝m，即M＝，所以选rrG

vTv2·2πv3Tv·r2πr项B正确；再根据T＝v，得M＝＝＝，所以选项C正确；若已知地球公转GG2πG2的周期T′及运转半径r′，只能求出地球所围绕的中心天体—太阳的质量，不能求出地球的质量，所以选项D错误. 9.把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星(

) A.周期越小

C.角速度越小

答案

BCD vMm解析

行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由G2＝mrr得v＝

GMMm，可知r越大，线速度越小，B正确.由G2＝mω2r得ω＝

rr2B.线速度越小

D.加速度越小

GM，可知rr32πMm越大，角速度越小，C正确.又由T＝知，ω越小，周期T越大，A错.由G2＝ma得aωrGM＝2，可知r越大，加速度a越小，D正确. r10.火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的1.5倍.根据以上数据，下列说法中正确的是(

) A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的小

B.火星公转的周期比地球的长

C.火星公转的线速度比地球的大

D.火星公转的向心加速度比地球的大

答案

AB MmMMm2π解析

由G2＝mg得g＝G2，计算得A对；由G2＝m()2r得T＝2π

RRrTB对；周期长的线速度小(或由v＝

M加速度a＝G2，计算得D错. r二、非选择题

11.一颗人造卫星靠近某行星表面做匀速圆周运动，经过时间t，卫星运行的路程为s，运动半径转过的角度为1 rad，引力常量为G，求：

(1)卫星运行的周期；

(2)该行星的质量. s3答案

(1)2πt

(2)2

Gtr3，计算得GMGM判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转的向心r

θ1解析

(1)卫星的角速度ω＝＝

rad/s，

tt2π周期T＝＝2πt. ωsGMm(2)设行星的质量为M，半径为R，则有R＝＝s，由牛顿第二定律得：2＝mω2R，解得：θRs3M＝2. Gt12.我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面.宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G.求：

(1)该星球表面的重力加速度；

(2)该星球的平均密度. 2hv23hv2答案

(1)2

(2)

L2πGRL21解析

(1)小球在星球表面做平抛运动，有L＝vt，h＝gt2. 22hv2解得g＝2

LGMm(2)在星球表面满足2＝mg

R3hv243又M＝ρ·πR，解得ρ＝. 32πGRL2