3. 万有引力定律的应用教案及板书设计

万有引力定律复习

教学目标

1. 巩固基础知识，加深对物理概念的理解。

2. 进一步熟悉两个重要模型，提高利用知识解决实际教师提问的能力。

重点难点

重点：

万有引力公式的理解与应用；环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系

难点：

万有引力公式的物理本质

设计思想 解决天体运动的教师提问主要围绕两个模型展开：一是忽略中心天体自传情况下，中心天体表面物体所受的重力近似等于中心天体对物体的万有引力，即G心天体运动做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引=F向，Mm=mg；二是卫星绕中2RGMmv2422m=mωr=m2r。黄金代换已经在前面讨论清楚. 2rrT教学资源 《万有引力定律复习》多媒体课件

教学设计

【课堂引入】

教师提问：本章知识体系的主线是什么？

（开普勒三定律的发现为牛顿发现万有引力定律奠定了基础，卡文迪许用实验较准确地测定了万有引力常量，大大地推动了天文学的发展，人们利用万有引力及其有关知识研究了天体和人造卫星运动的规律，进一步为人类探索宇宙的奥秘、航天事业的发展奠定了基础。本节课我们利用一些教师提问来加深对本章知识的理解。）

【课堂学习】

学习活动一：万有引力公式的深刻理解

教师提问1：已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：

234h

Mm2同步卫星绕地球作圆周运动，由G得MmhGT2h2T（1）判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。

2（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

【解析】：(1)上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。

正确的解法和结果是：GMm22m()(Rh)

①

(Rh)2T42(Rh)3得M

②

2GT2Mm2242r3)r得M（2）方法一：对月球绕地球作圆周运动，由G2m(

③

2rTGT2

MmgR2

方法二：在地面重力近似等于万有引力，由G2mg得M

④

RG（过渡：万有引力的教师提问主要围绕黄金代换和万有引力公式展开，这两个公式结合能解决很多教师提问，应用黄金代换时特别要注意半径跟重力加速度相对应；那么万有引力公式里的半径如何理解呢？）

GMmv2m教师提问2：

万有引力公式公式中左右两边的r物理意义相同吗？

r，r2（左右两边的r意义不同：左边的r是指两天体球心间距离，右边的r是指环绕天体做匀速圆周运动的轨道半径。如果中心天体不动，环绕天体绕其做匀速圆周运动，则两个r在数值上一样，这是最常见的模型，但有些教师提问中两个r就取不同的数值。）

教师提问3：神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m（用m1、m2表示）；

（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v2.710m/s，运行周期T4.710s，质量m16ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G6.671011Nm2/kg2,ms2.01030kg）

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（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有

FAm12r1 FBm22r2 FAFB

设A、B之间的距离为r，又rr1r2，由上述各式得

rm1m2r1

① m2

3m1m2m1m2由万有引力定律，有FAG，将①代入得FAG 222r(m1m2)r13m2m1m令FAG2 比较可得m

②

r1(m1m2)2m1mv2（2）由牛顿第二定律，有G2m1

③

r1r1又可见星A的轨道半径r1vT ④

23m2v3T由②③④式解得 ⑤

22G(m1m2)3m2v3T（3）将m16ms代入⑤式，得

22G(6msm2)3m2代入数据得3.5ms

⑥

(6msm2)23m2nms3.5ms

⑦

设m2nms(n0)，将其代入⑥式，得6(6msm2)2(1)2n3m2可见，的值随n的增大而增大，试令n2，得

2(6msm2)n6(1)2nms0.125ms3.5ms

⑧

若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必大于2ms，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。

双星教师提问主要有如下结论：

⑴由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mω2r可得r1，于是有r1mm2m1L,r2L

m1m2m1m2

⑶列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。

（解决本题切记不能死套万有引力公式，应该从匀速圆周运动的条件出发：合外力提供向心力。解题的关键就在确定圆心的位置，找准轨道半径，另外弄清什么力提供向心力。说穿了，万有引力公式就是匀速圆周运动中向心力方程一个特例而已，更进一步还可以看成是牛顿第二定律结合万有引力定律在本章的应用，这是物理的本质。下面的三星教师提问表现得更为明显。）

教师提问4：继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t。试计算土星的质量和平均密度。

解析：设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供. GtMm22，其中，

Tm(Rh)()2nT(Rh)42n2(Rh)3所以：M．

2Gt43M3n2(Rh)3又VR，



233VGtR5、解析：题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确的解法是

卫星表面GmR2＝g

行星表面GMR02=g0

即(R02mg)=

RMg0即g =0.16g0。

教师提问5：如图，行星绕太阳的运行轨道为椭圆，近地点A到太阳的距离为a，远日点B到太阳的距离为b，求行星在A、B两点的速率之比。该教师提问在第一节已经用开普勒第二定律求解过，现在请用万有引力公式求解。

v12Mm【解析】：近地点：G2ma

2v2Mm远日点：G2m

b 两式相比可得：v1：v2=b:a 22vvMmMm12（学生很容易犯这样的错误：近地点：Gm；远日点：G2m，从而得到：2aabbv1:v2b的错误结论。究其原因就是没有正确理解万有引力公式中r的含义，向心力方程av2中，对于一般的圆周运动，r是指该处的曲率半径。）Fmr

（该教师提问可作为拓展内容，对层次较高的学生来说，还是会有所收获的。）

（过渡：前面讨论了地球同步卫星，知道它的轨道是一定的，只能在地球赤道上空36000km的高度，这些同步卫星会在轨道上相碰吗？）

学习活动二：环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系

教师提问1：如图所示，A、B、C是在地球大气层外的圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，下列说法中正确的是

(

) A．B、C的线速度相等，且大于A的线速度

B．B、C的周期相等，且大于A的周期

C．B、C的向心加速度相等，且大于A的向心加速度

D．若C的速率增大可追上同一轨道上的B

【解析】：

由卫星线速度公式vGM可以判断出

vC=vB＜vA，因而选项A是错误的。

r2rr3由卫星运行周期公式

T，可以判断出TB =TC＞TA，故选项B是正确的。2vGM卫星的向心加速度是万有引力作用于卫星上产生的，由aC是错误的。

若使卫星C速率增大，则必然会导致卫星C偏离原轨道，它不可能追上卫星B，故D也是错误的。（由于人造地球卫星在轨道上运行时，所需要的向心力是由万有引力提供的，若由于某种原因，使卫星的速度增大，则所需要的向心力也必然会增加，而万有引力在轨道不变的时候，是不可能增加的，这样卫星由于所需要的向心力大于外界所提供的向心力而会作离心运动。）所以本题正确选项为B。

小结：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，根据GM，可知aA=aB=aC ，因而选项2rGmM2222mammrm()r

万有引力公式：2rTr（1）向心加速度a向与r的平方成反比。

a向=GM当r取其最小值时，a向取得最大值。

r2

a向max=GM=g=9.8m/s2

2R（2）线速度v与r的平方根成反比

v=GM∴当h↑，v↓

rGM=Rg=7.9km/s R当r取其最小值地球半径R时，v取得最大值。

vmax=（3）角速度与r的三分之三次方成百比

=GM∴当h↑，ω↓

3r当r取其最小值地球半径R时，取得最大值。max=（4）周期T与r的二分之三次方成正比。

GMg－=≈1.23×103rad/s 3RRr3T=2∴当h↑，T↑

GM当r取其最小值地球半径R时，T取得最小值。

R3RTmin=2=2≈84 min

GMg（从上述讨论可发现要比较不同轨道上卫星的加速度、线速度、角速度、周期的大小，只要看轨道半径即可。本题以地球为中心天体讨论，其它中心天体具有类似的讨论。）

教师提问2：

根据上述讨论：当r取其最小值（地球半径R）时，v取得最大值。

vmax=GM=Rg=7.9km/s，结合第一宇宙速度，7.9km/s是发射卫星上天的最小速度，这两R者有矛盾吗？

（卫星发射速度等于7.9km/s，它将在地面附近作匀速圆周运动；向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难，要发射一颗半径大于地球半径的人造卫星，发射速度必须大于7.9km/s，即7.9km/s是最小发射速度。但卫星发射成功后，正常运行的速度随高度的增加而减小，7.9km/s是最大的运行速度。也就是说，7.9km/s是最小的发射速度，同时也是最大的运行速度，两者并不矛盾。）

教师提问3：

能在地球上空发射一颗人造卫星，周期为80min吗？

（不能，根据教师提问1的讨论，地球卫星的周期最小约为84min。）

【课堂小结】

GMmv2m两边r的物理意思各是什么？

教师提问1：

万有引力公式rr2教师提问2：

如何理解万有引力公式是牛顿第二定律结合万有引力定律在本章的应用？

教师提问3：

环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系如何？

【板书设计】

一、黄金代换：GMm=mg R2本质：忽略中心天体自传情况下，中心天体表面物体所受的重力近似等于中心天体对物体的万有引力。注意R和g相对应

GMmv2422m=mωr=m2r

二、万有引力公式：2rT

r本质：卫星绕中心天体运动做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引=F向

三、环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系

GmM2222mammrm()r

万有引力公式：2rTr（1）向心加速度a向与r的平方成反比。

a向=GM当r取其最小值时，a向取得最大值。

r2GM2=g=9.8m/s

2Ra向max=（2）线速度v与r的平方根成反比

v=GM∴当h↑，v↓

rGM=Rg=7.9km/s R当r取其最小值地球半径R时，v取得最大值。

vmax=（3）角速度与r的三分之三次方成百比

=GM∴当h↑，ω↓

r3GMg－3=≈1.23×10rad/s 3RR当r取其最小值地球半径R时，取得最大值。max=（4）周期T与r的二分之三次方成正比。

r3T=2∴当h↑，T↑

GM当r取其最小值地球半径R时，T取得最小值。

R3RTmin=2=2≈84 min

GMg