构建知识体系教案公开课一等奖

勾股定理及其逆定理复习

一、基础知识梳理：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2 22也就是说：如果设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a+ b= c。

2 22222公式的变形：a= c- b， b= c-a

▲勾股定理它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

2、勾股定理的逆定理

2 22如果△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a+ b= c，那么△ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. ▲该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

2 22满足a+ b= c的三个正整数a,b,c，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；

5、12、13；7、24、25……

4、最短距离问题：

主要运用的依据是 。

二、

知识结构：

勾股定理

直角三角形

应用

三、考点剖析

考点一：在直角三角形中，已知两边求第三边

例1、如图：已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（

）

A．21

B．15

C．6

D．以上答案都不对

▲注意：在运用勾股定理时首先要找准同一个直角三角形中的斜边与直角边，其次是要熟悉公式的变2 22222 形：a= c- b， b= c-a。

【强化训练】：

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ．

2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 . 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，

求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）

考点二：利用勾股定理解决面积问题

例2．求：（1）阴影部分是正方形；（2）

阴影部分是长方形；（3）

阴影部分是半圆． (4)S正=16，S半圆

= ，AC=

判定直角三角形的一种方法

小结：勾股定理

边长

面积

【强化训练】：

１. 如图所示，等腰是底边上的高，若

中，，

，求

①AD的长；②ΔABC的面积．

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２. 如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为 . 分析：勾股树问题中，处理好两个方面的问题，一个是正方形的边长与面积的关系，另一个是正方形的面积与直角三角形直角边与斜边的关系。

点评：请同学们自己把其内在的一般变化规律总结一下。

３．如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

（此知识点同学们可以参考课本第78—79页阅读材料）

考点三：勾股定理与方程思想结合，解决数学问题

例3．已知直角三角形ABC两直角边长分别为X和5,斜边长为X+1,则它的周长= 。

(x1)2x252 x=12 周长=30 ▲小结：在同一个直角三角形中若能用含同一个未知数的代数式来表示未知的线段长度，则可用勾股定理来列方程，从而求解。

【强化训练】：

1．小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ A C B

2.折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。. A D E B

F C

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考点四：利用勾股定理逆定理证某个三角形是直角三角形

例4：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有 .(只填序号) 【强化训练】：

1.△ABC中，三条边长分别为a＝n－１，

b＝2n，

c＝n＋１（n＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角．

2.下图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。

22

考点五:构建直角三角形,利用勾股定理解决最短路径问题

例5．如图，一只鸭子要从边长分别为16m和6m的长方形水池一角M•游到水池另一边中点N，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？

【强化练习】

1. 在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高2米的小树，两树之间相距8米。今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）

2．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？

D

C

A B

【综合运用】：

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1.某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，

，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为

．

2.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是____________。

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