构建知识体系课堂实录及点评

第17章

勾股定理知识构建课

一、内容及内容解析

1．内容

勾股定理及其逆定理．

2．内容解析

本章主要研究直角三角形的边之间的数量关系——勾股定理．勾股定理反映了特殊图形中边的数量关系，体现了数形结合的数学思想．

所有的命题都有逆命题，但真命题的逆命题不一定正确，勾股定理的逆命题是真命题，它提供了根据边的数量关系判定直角三角形的一种方法．勾股定理及其逆定理，从相反的路径对直角三角形进行了刻画．勾股定理和逆定理经常合起来使用，在利用逆定理判明了直角三角形后，进一步运用勾股定理去解决问题．

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要作用，勾股定理导致了无理数的产生——导致出现了数学历史上的第一次数学危机，促进了数学的发展．勾股定理和逆定理在解决数学问题和现实世界中也有着广泛的应用．

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：勾股定理及其逆定理的应用．

二、目标及目标解析

1．目标

(1)回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构．

(2)思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会“出入相补”、数形结合、转化思想在解决数学问题中的作用．

2．目标解析

目标(1)的具体要求是：回顾勾股定理及其逆定理，理解它们的产生及论证过程，能运用勾股定理及逆定理进行计算、证明和解决实际问题．

理解互逆命题、互逆定理概念，能写出一个命题的逆命题．在回顾过程中主动构建起本章知识结构．

目标(2)的具体要求是：在回顾总结两个定理的发现和证明过程中体会“出入相补”的思想、“数形结合”的思想，会根据具体问题寻找或构造适当的三角形运用勾股定理和逆命题解决问题．

1

三、教学问题诊断分析

为了更好地认识勾股定理和逆定理，更好地运用他解决实际生活中的问题，通过回顾梳理已学过的知识，让学生主动进行知识体系重构，以便形成条理清晰、提取方便的知识系统．在利用勾股定理求解边的问题中，能找出和构造出直角三角形是运用勾股定理的关键，经常需要添加辅助线构造直角三角形，掌握一些基本的解题方法，如把一般三角形问题通过添高线，四边形通过延长对边或连接对角线转化为直角三角形，等等，而这些方法的形成是需要经验积累的，学生往往难以根据问题特点寻找或构造适当的直角三角形联系已知和未知数据．

基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：寻找或构造适当的直角三角形，应用勾股定理及其逆定理解决问题．

四、教学过程设计

(一)创设情境

回顾知识

引言：如图1，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想？

(背景介绍：在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．人们为了纪念这位伟大的科学家在他的家乡建了这个雕像．)

问题1 在本章我们学习了与直角三角形有关的两个重要的定理，你能叙述这两个定理吗？

师生活动：学生叙述定理内容．

设计意图：引导学生回顾两个定理的内容．

追问1：这两个定理的题设和结论各是什么？它们之间有什么关系？

追问2：你是怎样发现并证明勾股定理的？赵爽证明勾股定理用到了什么方法？

追问3：证明勾股定理的逆定理过程中用到了什么方法？

师生活动：教师引导学生辨别两个定理之间的关系，回顾证明的基本方法．

(二)合作交流，整理知识

问题2 你能说出本章学习的主要内容并把它整理成好记的结构吗？

师生活动：学生独立整理知识，并进行互相交流．教师在与学生的交流中，和学生共同完善本章知识结构(如图2)．

图1

2

勾股定理

互逆定理

勾股定理的逆定理

命题的题设和结论互换

直角三角形边

长的数量关系

图2 直角三角形的判定

设计意图：引导学生整理和优化知识结构，深化知识理解．

(三)基础训练

巩固知识

(1)在Rt△ABC中，已知a＝1，b＝3，∠B＝90°，则第三边c的长为________．

变式：在Rt△ABC中，已知a＝1，b＝3，则第三边c的长为________．

(2)分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)3，4，5，(2)5，12，13，(3)8，15，17，(4)4，5，6，其中能构成直角三角形的有________．

(3)小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为(

).

A．8 m

B．10 m

C．12 m

D．14 m 设计意图：一组基础练习，主要复习勾股定理及其逆定理的应用，加深对定理及其逆定理的理解．

(四)综合应用，体会方法

例1 如图3，每个小正方形的边长都为1．

(1)求四边形ABCD的面积与周长．

(2)∠BCD是直角吗？

图3 师生活动：学生独立解决问题，教师引导学生相互交流和评价，引导学生反思概括，总结勾股定理的应用和“出入相补”的思想．

设计意图：综合应用勾股定理及其逆定理解决问题，体会“出入相补”思想．

例2 如图4所示，测得长方体木块的长4厘米，宽3厘米，高4厘米．一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短，并求最短路径．

设计意图：应用勾股定理求曲面上的最短路径问题．分类讨论．

图4

3

设计意图：引导学生化空间为平面，化折(曲)为直，体会勾股定理在新情境中的应用，体会数学转化的思想．

(五)课堂小结

教师引导学生思考下列问题，总结本章的学习体会：

(1)本章主要研究了直角三角形的三边关系，你能说说本章的主要内容吗？

(2)勾股定理及其逆定理的题设和结论各是什么? 有什么关系？

(3)怎样根据一个命题写出它的逆命题？一个命题正确能保证它的逆命题一定正确吗？

(4)勾股定理及其逆定理的证明学习中，你学到了什么数学思想方法？

布置作业：教科书第38页复习题17，1，2，5，6，7，10，14题．

五、目标检测设计

1．已知直角三角形一个锐角30°，斜边长为10，此直角三角形斜边上的高是__________．

设计意图：考查勾股定理．

2．通过计算说明能否将一根70 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为40 cm、30 cm和50 cm的长方体盒子中？

设计意图：考核应用勾股定理解决立体图形背景中的问题．

3．△ABC的三边分别为a，b，c，这三边上的高线长分别为ha，hb，hc，如果＝11＋，求证：△ABC是直角三角形．

22hahb1hc2设计意图：考核勾股定理逆定理的应用．

4．如图，A，B两镇离燃气管道l的距离AC，BD分别为2 km，5 km，且CD＝7 km，要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线PA＋PB最短，最短是多少？

设计意图：考核构造直角三角形应用勾股定理解决问题的能力．

C

D

4

5．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个的正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝

．

设计意图：考核综合运用勾股定理解决问题的能力．

参考答案：

1．53

；

22．能；

3．略；

4．作图略，72km；

5．4．

5