探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教案设计（一等奖）

专题三 三角函数

第1课时 三角函数求值

考纲要求

（1）理解任意角三角函数的定义；

（2）能利用单位圆中的三角函数线导出考点

考题预测

题型

小题

题量

1或0 难度

中等偏易

基本公式的运,的正弦、余弦、正切的诱导公式； 用；三角函数2式的恒等变（3）理解同角三角函数的基本关系；

形．

（4）会推导和、差角公式及二倍角公式．



解读：对比考纲，纵观近几年全国卷的三角函数试题，三角函数求值题主要以选择、填空题形式进行考查，属较容易题．主要考查利用三角函数的基本关系及常用公式解决求值问题；常与三角恒等变换相结合进行化简、计算和求值．熟练和准确运用公式是解题的关键．

同角三角函数基本关系及诱导公式

诱导公式记忆方法

公式

正弦、余弦和正切函数的和、差角公式

方法

三角函数求值常用方法

正弦、余弦和正切函数的二倍角公式

三角函数求角的方法

1．（2011年全国卷Ⅰ，文7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（

）

A．﹣

B．﹣

C．

D．

2．（2017全国卷Ⅲ，文4）已知sincos4，则sin2=（

）

3

C．A．7

9

B．2

9

2

9

D．7

93．（2016年全国卷Ⅰ，文14）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=

．

1

4．（2017全国卷Ⅰ，文15）已知0,



，tan2，则cos=__________．42类型一 给角求值

【例1】（1）已知直线2xy30的倾斜角为，则cos2的值为（ ）

A．3344 B． C． D．

5555（2）sin24sin36sin456的值为（

）

A．0 B．

11 C． D．1 32sin）、“1”的cos【方法提炼1】(1) 用同角三角函数基本关系求值常用弦切互化（tan22巧用（如1sincostan45）等方法；（2）给出多个不同角度或不同函数名称的三角函数式求值，可先运用诱导公式将其转化为锐角三角函数，再通过非特殊角与特殊角的相互转化及三角恒等变形解决．

【变式训练1】

sin250（1）＝ ．

1sin10（2）已知tan0,且角θ终边上一点为(-1,y),且cos

1，则sin＝ ．

2类型二 给值求值

【例2】（1）已知cos(6)532)的值为（ ）

，则sin(63A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。

（2）若cos(

D.-错误！未找到引用源。

4)31，则tan的值为

．

5tan【方法提炼2】（1）给出某些角的三角函数式的值，求其它角的三角函数值关键在于“变角”．

(ⅰ)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．如()等．

(ⅱ)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系．如

2

(6)与(3)互余；(35)与()互补；22()等．

44626（2）cos(4)与sincos有关，常用sincos与sincos的关系进行代换及整体计算．

【变式训练2】

2),则cos

．

2332（2）已知(0,)，sin()，则sin(2)的值为（

）

46312（1）已知(0,)，cos(A．254541024102 B． C． D．

991818类型三 给值求角

【例3】（1）已知函数f(x)tan(2x

．

（2）已知,(0,)，且tan())，若(0,)，且f()23，则＝

42211，tan，则2

．

27【方法提炼3】给值求角问题一般都是特殊角，可转化为给值求值问题．即先求出该角的某一三角函数值，然后讨论角的范围（越窄越好），判断该角的大小．编为口诀为：“求角先求值，由值可得角，范围定大小”．

2【变式训练3】方程x3ax3a10(a2)的两根为tan,tan,且,(,)22错误！未找到引用源。,则＝__________.

1．若cos(A．2)2，则cos(2)等于（

）

35522 B． C． D． 999912cos4＝（

）

2．已知cossin，则sinA．15135 B． C． D．2 2223．若,为锐角，sin5310，cos()，则＝

．

52103

4．已知sincos1,(0,)，则tan

．

5

1．本节课你巩固了哪些知识方法？

2．最让你有收获感的是什么知识方法？

3．你觉得哪些方面还需要进一步强化？

1．cos525的值为（

）

A．62626226 B． C． D． 44442．已知cos(3)1，则sin()的值等于（

）

36A．112222 B． C． D． 33333．（2017课标3，文4）已知sincos4，则sin2=（

）3

C．[来源学科网ZXXK]

A．7

9

B．2

9

2 9

D．7

94．已知2tansin3，且为第一象限角，则角的取值的集合为

．

5．已知3,tantan3，则cos()的值为

．

6．已知α,β均为锐角,且sinα=错误！未找到引用源。,tan(α-β)=-错误！未找到引用源。

(Ⅰ)求sin(α-β)的值. (Ⅱ)求cos的值. 参考答案

真题重现 1．答案：B 解析：设P(t,2t)(t0)为角终边上任意一点，则cost．

5t

4

当t0时，cos55；当t0时，cos．

55231．

552因此cos22cos12．答案：A 解析：已知两边平方得1sin23．答案：167，所以sin2．

994

3解析：由题意sin3cossin．

44425因为2k72k2kZ，所以2k2kkZ，

2444从而sin44tan，因此．

43454．答案：310

10解析：由(0,解得sin2)，tan2sin2sin2cos，又sin2cos21，cos2310255，cos，cos．

(cossin)554210精讲精练 【例1】答案：（1）B（2）A 2cossin22cossin解析：（1）由已知可得tan2，则cos＝22cossin221tan2143.

51tan214（2）sin24sin36sin456＝sin(306)sin(306)sin(36096)＝

1313cos6sin6cos6sin6sin96cos6cos60.

2222【变式训练1】答案：（1）

12（2）

225

sin2501cos1001sin101解析：（1）＝.

1sin102(1sin10)2(1sin10)2(2)由三角函数定义知tany110，所以y0.又cos，所以y1.

121y2sin122.

250

72【例2】答案：（1）B（2）解析：（1）sin错误！未找到引用源。=sin错误！未找到引用源。

=cos错误！未找到引用源。=2cos错误！未找到引用源。-1=2×错误！未找到引用源。-1=-错误！未找到引用源。. （2）由已知，得723(cossin)，两边平方，并整，得sincos，

50251sincossin2cos2150．

所以tan＝tancossinsincossincos7【变式训练2】答案：（1）解析：（1）因为(0,215；（2）C 6)，cos(23)20，所以在第二象限，所以33sin(＝3)

5．所以coscos[()]cos()cossin()sin＝

33333332153215.

32326（2）由已知525(,)，又sin()，所以cos().

66126363所以sin(212)＝sin[2(2)][sin2()cos2()]

64266＝24102[2sin()cos()12sin2()]＝．

266618

6

3 （2）

64解析：（1）由已知f()23化为tan()230，所以．

244425所以，故．

4126【例3】答案：（1）11－27tan（α－β）＋tan βπ1（2）∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.

11341－tan（α－β）tan β1＋×2712×32tan απtan 2α－tan β3又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝24211－tan2α1＋tan 2αtan β1－331＋47π3π1＝1.∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.

317241－×47【变式训练3】答案：3

4解析：由题意得tanα+tanβ=-3a<0, tanαtanβ=3a+1>0,所以tanα<0,tanβ<0, 又因为α,β∈错误！未找到引用源。,所以α+β∈错误！未找到引用源。, tan错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=1, 所以α+β=-错误！未找到引用源。. 达标检测 答案：1．B 2．D 3．4 4．

43522，则cos(2)cos22sin1.

93解析：1．由已知，得sin22．由已知，得sin1sin，则11cos4＝sin2

sinsin11sin2cos21sin11112.

＝sinsinsin

3．由已知，得cos2531010,sin.cos．所以sin()

51010sincoscossin310251052. 又，

2210510527

所以4．

120,cos0.……①

254322又sincos1……② 联立①②两式解得sin，cos，所以

554tan＝．

34．将条件两边平方，得sincos课外作业

1．答案：C 解析：cos525cos165cos152．答案：A 解析：sin(3．答案：A 解析：已知条件两边平方得1sin24．答案：2k62．

46)sin[2(3)]cos(3)cos(1)．

33167sin2．

99,kZ

31或

222解析：由已知得2sin3cos，化为2cos3cos20，解得coscos2（舍去），又为第一象限角，所以2k3,kZ.所以取值的集合为

2k,kZ．

35．答案；31

32解析：由已知条件结合两角差的正切公式，得tantan31，即sinsin

(31)coscos……①

因为3，所以cos()11，即coscossinsin……②

22联立①②解得coscos313,sinsin．

626

8

所以cos()coscossinsin31331()．

626326．答案：（Ⅰ）10910（Ⅱ）．

1050解析：(Ⅰ)因为α,β∈错误！未找到引用源。,从而-错误！未找到引用源。<α-β<错误！未找到引用源。.又因为tan(α-β)=-错误！未找到引用源。<0, 所以-错误！未找到引用源。<α-β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin(α-β)+cos(α-β)=1, 且错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。,解得sin(α-β)=-错误！未找到引用源。. (Ⅱ)由(1)可得,cos(α-β)=错误！未找到引用源。. 因为α为锐角,sinα=错误！未找到引用源。,所以cosα=错误！未找到引用源。.所以cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 22

9