2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计

平面向量的正交分解及坐标表示

教学目标：

知识目标：

使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

能力目标：

让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念性，从而养成科学的学习方法。

情感目标：

通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

教学重点：

向量的坐标表示及坐标运算。

教学难点：

坐标表示及运算意义的理解。

教学过程：

一、复习提问：

1．复习向量相等的概念

相等向量OA=BC，方向相同，大小相等。

2．平面向量的基本定理（基底）a=λ1e1+λ2e2,其实质：同一平面内任一向

量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

二、新课：

1．正交分解的物理背景及其概念

图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2，G＝F1＋F2，叫做把重力G分解。

由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量a=λ1e1+λ2e2。

O

B x y A C

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

2．平面向量的坐标表示

取x轴、y轴上两个单位向量i,

j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，

记作：a=(x, y)

称作向量a的坐标，这就叫做向量的坐标表示。

i＝（1,0），j＝（0,1），0＝（0,0）

例2

如图，分别用基底i,

j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标。解：由图可知：

aAA1AA2＝2i＋3j, 所以，a＝（2,3）,

同理，有：

b＝－2i＋3j＝（－2,3）, c＝－2i－3j＝（－2,－3）, d＝2i－3j＝（2,－3）。

3．平面向量的坐标运算

（1）已知a(x1, y1)，b(x2, y2)，求a+ b，a b的坐标；

（2）已知a (x, y)和实数λ,求λa的坐标。

解：a+ b =(x1 i +y1 j)+( x2 i +y2 j)=(x1+ x2) i + (y1+y2) j

即：a+ b =(x1+ x2, y1+y2), 同理：a b =(x1 x2,

y1y2)。

三．应用示例

例1

已知向量e1,e2, 求作向量2.5e1+3e2.

作法：（1）取点O，作OA=2.5e1,OB=3e2.

（2）作例2 如图OACB，OC即为所求25e1+3e2

ABCD的对角线交于M,且AB=a,AD=b,用a,b表示MA,MB,MC和MD.

解：在∴MA=ABCD中

，∵AC=AB+AD=a+b

，DB=ABAD=ab

1ab，

2111111b,MC=AC=a+b,MD=DB=a+222222111=(a+b)=AC2221111MB=DB=(ab)=a2222b. 例3如图，OA，OB不共线,AP=tAB(tR),用OA,OB表示OP.

解：∵AP=tAB

∴OP=OA+AP=OA+ tAB

=OA+ t(OBOA)=OA+ tOBtOA=(1t)OA+ tOB.

四、课堂练习：

1.已知矢量ae12e2,b2e1e2,其中e1、e2不共线,则ab与c6e12e2的关系是( B ) A.不共线

B.共线相等

D.无法确定

2.已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于(

A

) B.-

3.已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=

0



五、小结：

取x轴、y轴上两个单位向量i,

j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，

记作：a=(x, y)

称作向量a的坐标，这就叫做向量的坐标表示。

六、课后作业：

7.如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，H、M是AD、DC之中点，F使BF＝以a、b为基底分解向量AM与HF

分析：以a，b为基底分解AB与HF，实为用a与b表示向量AM与HF

1BC，3解：由H、M、F所在位置有：

AM=AD+DM=AD+111DC=AD+AB=b＋a，

222HF＝AF－AH＝AB＋BF－AH

＝AB＋

11111BCAD＝AB＋AD－AD＝a－b

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