解决问题的策略课堂实录【1】

《鸽巢问题》教学设计

设计者:六盘水市盘州市第三小学牛金灿【教材分析】

鸽巢问题又称抽屉原理,它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一,从这个原理出发,可以得出许多有趣的结果。这部分教材通过几个直观的例子,借助实际操作,向学生介绍了“鸽巢问题”。学生在理解这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题“模型化”,会用“鸽巢问题”解决问题,促进逻辑推理能力的发展。

【学情分析】

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的,尤其是“鸽巢问题”的逆用,学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难,也缺乏思考的方向,很难找到切入点。

【教学目标】

1.知识与技能:通过操作、观察、比较、推理等活动,初步了解鸽巢原理,学会简单的鸽巢原理分析方法,运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。

2.过程与方法:在鸽巢原理的探究过程中,使学生逐步理解和掌握鸽巢原理,经历将具体问题数学化的过程,培养学生的模型思想。

3.情感态度:通过对鸽巢原理的灵活运用,感受数学的魅力,体会数学的价值,提高学生解决问题的能力和兴趣。

【教学重点】

经历鸽巢问题的探究过程,初步了解鸽巢原理。

【教学难点】

理解“总有”“至少”的意义,理解“至少数=商数+1”;理解鸽巢原理,并对一些简单的实际问题加以模型化。

【教学准备】

多媒体课件、扑克牌、合作探究作业纸。

【教学过程】

一、游戏引入

(一)谈话

你们知道“料事如神”这个词是什么意思吗?今天老师也能做到“料事如神”,你们信不信?现在取一副牌,取出大小王,还剩52张牌,你们5人每人随意抽一张,我知道至少有两张是同花色的。你们信吗?

(二)玩游戏,组织验证。

通过玩游戏,引导学生体会到:不管怎么抽,总有两张牌是同花色的。

(三)设疑

你们想知道这是为什么吗?通过今天的学习,你就能解释这个现象了。下面我们就来研究这类问题,我们先从简单的情况入手研究。

【设计意图】通过玩游戏,调动学生的学习热情,初步渗透鸽巢原理。

二、合作探究

(一)初步感知

1.出示题目:有3支铅笔,2个笔筒(把实物摆放在讲桌上),把3支铅笔放进2个笔筒,怎么放?有几种不同的放法?谁愿意上来试一试。

2.学生上台实物演示。

可能有两种情况:一个放3支,另一个不放;一个放2支,另一个放1支。

教师根据学生回答在黑板上画图和数的分解两种方法表示两种结果。(3,0)、(2、1)

3.提出问题:“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗?

学生尝试回答,师引导:这句话里“总有”是什么意思?(一定有,肯定有)。这句话里“至少”是什么意思?(最少)

4.得到结论:从刚才的实验中,我们可以看到3支铅笔放进2个笔筒,总有一个笔筒至少放进2支笔。

(二)枚举法

过渡:如果现在有4支铅笔放进3个笔筒,还会出现这样的结论吗?

1.小组合作。

(1)画一画:借助“画图”或“数的分解”的方法把各种情况都表示出来;

【设计意图】尊重学生的个体差异,引导学生用自己的方法去探究、发现,经历抽屉原理的探究过程。

(2)找一找:每种摆法中最多的一个笔筒放了几支,用笔标出;

(3)我们发现:总有一个笔筒至少放进了()支铅笔。

2.学生汇报,展台展示。

交流后明确:

(1)四种情况:(4,0,0)、(3,1,0)、(2,1,1)、(2,2,0)

(2)每种摆法中最多的一个笔筒放进了:4支、3支、2支。

(3)总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。

3.小结:刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有情况验证了结论,这种方法叫“枚举法”,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论,找到“至少数”呢?

(三)假设法

1.学生尝试回答。(如果有困难,也可以直接投影书中有关“假设法”的截图)

2.学生操作演示,教师图示。

3.语言描述:把4支铅笔平均放在3个笔筒里,每个笔筒放1支,余下的1支,无论放在哪个笔筒,那个笔筒就有2支笔,所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。(指名说,互相说)

4.引导发现

(1)这种分法的实质就是先怎么分的?(平均分)

(2)为什么要一开始就平均分?(均匀地分,使每个笔筒的笔尽可能少一点,方便找到“至少数”),余下的1支,怎么放?(放进哪个笔筒都行) (3)怎样用算式表示这种方法?(4÷3=1……1 1+1=2)算式中的两个“1”是什么意思?

【设计意图】让学生通过假设法,把抽象的数学知识同具体的分析策略结合起来,经历知识发生、发展的过程,体验策略的多样性。

5.引伸拓展

(1)5支笔放进4个笔筒,总有一个笔筒至少放进()支笔。

(2)25支笔放进24个笔筒,总有一个笔筒至少放进()支笔。

就是“假设法”,它里面就蕴含了“平(3)101支笔放进98个笔筒,总有

一个笔筒至少放进()支笔。

学生列出算式,依据算式说理。

6.发现规律

刚才的这种方法均分”,我们用有余数的除法算式把平均分的过程简明的表示出来了,现在会用简便方法求“至少数”吗?

(四)建立模型

1.出示题目:5支笔放进3支笔筒,5÷3=1支……2支

学生可能有两种意见:总有一个笔筒里至少有2支,至少3支。

针对两种结果,各自说说自己的想法。

2.小组讨论,突破难点:至少2只还是3只?

3.学生说理,边摆边说:先平均分每个笔筒放进1支笔,余下2只再平均分放进2个不同的笔筒里,所以至少2只。(指名说,互相说)

4.质疑:为什么第二次平均分?(保证“至少”)

5.强化:如果把笔和笔筒的数量进一步增加呢?

(1)10支笔放进7个笔筒,至少几支放进同一个笔筒?

10÷7=1(支)…3(支) 1+1=2(支)

(2)14支笔放进4个笔筒,至少几支放进同一个笔筒?

14÷4=3(支)…2(支) 3+1=4(支)

(3)23支笔放进4个笔筒,至少几支放进同一个笔筒?

23÷4=5(支)…3(支) 5+1=6(支)

6.对比算式,发现规律:先平均分,再用所得的“商+1”

7.强调:和余数有没有关系?

学生交流,明确:与余数无关,不管余多少,都要再平均分,所以就是加1.

8.引申拓展:刚才我们研究了笔放入笔筒的问题,那如果换成鸽子飞进鸽笼你会解答吗?把苹果放入抽屉,把书放入书架,高速路口同时有4辆车通过3个收费口……,类似的问题我们都可以用这种方法解答。

三、鸽巢原理的由来

课件出示:同学们从数学的角度分析了这些事情,同时根据数据特征,发现

了这些规律。你们发现的这个规律和一位数学家发现的规律一模一样,只不过他是在150多年前发现的,你们知道他是谁吗?——德国数学家?“狄里克雷”,后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律,就把这个规律用他的名字命名,叫“狄里克雷原理”,由于人们对鸽子飞回鸽巢这个引起思考的故事记忆犹新,所以人们又把这个原理叫做“鸽巢原理”,它还有另外一个名字叫“抽屉原理”。

四、解决问题

1.上课时扑克游戏,现在你能解释吗?

2.你们5人每人随意抽一张,我知道至少有两张是同花色的,为什么?

3.11只鸽子飞进了4个鸽笼,总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么?

4.5个人坐4把椅子,总有一把椅子上至少坐2人。为什么?

5.把15本书放进4个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉至少有4本书,为什么?

【设计意图】在这个环节里抓住假设法的核心思路,用有余数除法的形式表示,让学生直观地理解如果物体尽可能多的平均分给各个抽屉,看看每个抽屉里能分多少,余下多少,都能保证总有一个抽屉里的数量比平均数多1。

五、交流讨论、总结提升

学生讨论总结:发现“总有一个抽屉里至少有几”就是“商+余数”。

教师总结:如果物体的个数除以抽屉数有余数,用所得的商+1,就能确定总有一个抽屉里至少放几个物体了。

六、板书设计

数学广角—鸽巢问题

枚举法:(4,0,0)、(3,1,0)、(2,1,1)、(2,2,0)

4÷3=1……1 1+1=2

假设法 5÷4=1……1 1+1=2 至少数=商+1

5÷3=1……2 1+1=2

【教学反思】

本节课的教学突出体现以下两个特点:(1)游戏导入,激发兴趣。教师从“扑克牌魔术”游戏开始,昂学生初步体验不管怎么抽,总有两个同学抽到的扑克牌花色相同,激发了学生的学习兴趣,为后面开展教与学的活动做了铺垫。(2)注重“说理”活动,培养学生逻辑思维能力。