探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质第二课时教学设计

名称

年 级

教 材

章 节

教材分析

§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

高一年级

学科

课时

数学

1课时

本节课是新课程人教A版第2章第必修四第一章第四节第一课时

第一章：三角函数，第4小节正弦函数,余弦函数的图象第一课时

《正弦函数,余弦函数的图象》是高中新教材人教A版必修四的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数yAsin(x)的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。

本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出ysinx,x0,2的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正余弦函数的部分性质（定义域、值域等）

学情分析

本班学生是高一基础一般的班，学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数的诱导公式，并且刚学习三角函数线，这为用几何法作图提供了基础，但能不能正确应用来画图，这还需要老师做进一步的指导。

教学

目标

设计

知识与

能力

过程与

方法

1．理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；

2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．

通过简谐运动实验，感知正弦、余弦曲线的形状；学生经历利用正弦线作正弦函数图象的过程，理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；通过观察发现确定函数图象形状的关键点. 情感态度价值观

教学重点

教学难点

教学方法

1. 养成寻找、观察数学知识之间的内在联系的意识

2. 通过图像激发数学的学习兴趣

正弦余弦函数图象的作法及其特征

利用单位圆中的正弦线画正弦曲线

著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”正弦函数、余弦函数的图象

所以本节课我采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：（1）

以类比思维作为教学的主线

（2）

以自主探究、交流合作作为学生的学习方法

采用多媒体辅助教学、体现在用几何画板画双曲线。但不是单纯用动画演示给学生看，而是用动画启发引导学生思考，调动学生学习的积极性。

PPT、多媒体、展台

教学策略

教学资源

教学设计过程：

教学

环节

教

学

内

容

师生互动

设计

意图

创 创设情景：

同学们前几天

我在网络上看到一则动画，很

好看，你们想看吗？请观察物设 理实验“简谐运动”

情 这就是我们今天要研究的内 容:正弦函数、余弦函数的图像

（板书课题）

境

引

Ⅰ、新课引入

入 1.什么叫正弦函数？它的

定义域是什么？

2.什么叫余弦函数？它的新 定义域是什么？

Ⅱ、复习引入：

课

1.正弦函数的正弦线并要求学生在

单位圆中画出0,,,的正弦“物理实验“简谐运动”

多媒体展示

“简谐运动的位移和时间关的动画

系”图象，让学生经 生：专心观察纸板上形成的历从“生活世界”到曲线形状. “科学世界”，感受三 师:通过刚才的物理实验，角函数变化的特定规我们对正弦函数和余弦函数图律，并从直观上认识象已经有了一个直观的认识，正弦函数和余弦函数但这是从物理实验中得到的，的图象.

在数学中，我们如何利用所学温故知新

过的数学知识来作出正弦函数把问题作为教学和余弦函数图象呢？作图过程的出发点，引起学生中有什么困难？

的好奇，用操作性活 根据教师的提问学生进行知动激发学生求知欲，识衔接。

为发现新知识创设一 教师提问：正弦函数的定义、个最佳的心理和认识定义域

环境，关注学生动手学生阅读教材并回答教师所提能力培养，使教学目问题。

标与实验的意图相一致。

教师引导：

复习引入单位圆中的正弦线

以及诱导公式一。

632y线

O

2.诱导公式一xsin(k360)sin(kZ)

图

象

的

教师引导：根据以往学习函数设置意图：为学生提Ⅲ、探究新知

下面我们先来研究正弦函数的经验，你准备采取什么方法供一个轻松、开放的ysinx,x0,2的图象. 方法一：用正弦线作图

研究正弦函数？并展示

师:如何作出比较精确的正弦函数的图象？

教师引导学生进行分析：要作出比较精确的正弦函数的图- 1 - 问题1：如何画出正弦函数ysinx,x0,2的图像呢？

学习环境，有助于有效地组织课堂学习，有助于带动和提高全体学习的积极性、主动性，更有助于培养学生的集体荣誉感，以及他们的竞争意识

形

成

图

象

的

形

成

第一步：列表，首先在单位圆中画出正弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点o1，以o1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应角象，关键是把“列表”中点的纵坐标精确的标出来，注意到点的纵坐标其实都是正弦值，因此，问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。因为在前面已经学习过三角函数线——三

由浅入深、由易到难,帮助学生体会从三角函数线出发，“以已知探求未知”的数学思想方法,培养学生的思维能力。通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。

数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点

使学生掌握探究问题的方法，发展他们分析问题和解决问题的能力，老师的点拨，学生探究实践，进一步加深学生对几何法作正弦函数图象的理解。

通过课件演示让学生直观感受正弦函数图象的形成过程。并让学生亲自动手实践，体会数与形的完美结合。

交流、置疑

准确地画出正弦函数在xR上的图象，但是此方法比较耗时，不太实用。

积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移。

0,,,,...,2，的正弦线（这角函数线从“形”的角度刻画632了三角函数值的大小，这样学生很自然的想到利用单位圆中的三角函数线来表示点的纵坐标——正弦值．

生：根据教师引导观察、思考用正弦线作正弦函数图像的形成过程；

（这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．）

教师提问：初中学习过的画函数图像的基本方法是什么？你能否使用该方法画出等价于描点法中的列表）．

第二步：描点。我们把x轴上从0到2这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．

第三步：连线。用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数ysinx,x0,2的图象．

问题2：用这种方法作图象，虽然比较精确，但不太实用，在精确度要求不高的情况下，如何快速地画出正弦函数的图象呢？

方法二：五点法作图

ysinx,x0,2图象

学生作图：教师在此过程中引导学生在列表的过程中比较以度为单位和以弧度为单位哪一种更简洁，进而描点、连线。该过程中要适时的指点学生并加强学生与学生之间的和讨论和交流。

组织学生描出这五个点，ysinx,x[0,2]中，起关键作用的五个点是：30,0,,,0,,1,2,022动手：用五点法作出ysinx,x[0,2]的图像。

Ⅳ、典例讲解

例1．用“五点法”作图: - 2 -

（1）y1sinx,x[0,2];（2)ysinx，x0,2. 展示学生所画的图象

并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。

思考：能否从函数图像变换的角度，利用函数ysinx,x[0,2]的图像来得到y1sinx,x[0,2]及ysinx,x[0,2]的图像？

问题3：知道函数ysinx在x[0,2]的图像后，

你会画出ysinx在x[2,4],x[2,0],,上的图像吗？据此你能画出ysinx,xR的图象？请试试看。

展示学生所画的图象

把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受波形曲线的流畅美，对称美，“五点法”作图可由教师引使学生体会事物不断导学生来完成。

变化的奥秘。

通过讲解使学生教师提问：你以后再画正弦明白“五点法”如何函数图象会采取什么办法？

列表，怎样画图象。

小结作图步骤： 学生回答：画出以上的五1、列表2、描点3、点，再用光滑的曲线连结即可。

连线

让学生在体验、比较教师总结：以上方法称为“五各种方法之后，得出点法”，是最常用的画正弦函数“五点法”

图象的方法。

是常见、易用的方法，

发展学生归纳概括的让学生体会从部分到整体的变能力。

化过程。

通过正弦函数与余引导学生思考在前面所学的诱弦函数的相互关导公式中，由哪个公式可以可系，在类比的过程以将正弦变余弦？

中画出余弦函数的

问题4：已知正弦函数ysinx,x[0,2]的图像，如何画出余弦函数ycosxx0,2的图像呢？

探究：类似于正弦函数图像的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？

x

y

式图象，体会数学知识间的联系，以及cosxsin(x),可以把类比的数学思想。

2

正弦函数y=sinx的图象向



左平移单位即得余弦函

2

数y=cosx的图象.

通过观察类比，确定余弦函数

图象的五个关键点(0,1)、

3( ,0)、( π,-1)、(,0)、(2π,1).

22根据诱导公让学生再一次体会平移的美妙。

- 3 -

然后作出ycosx,x[0,2]的简图。

问题5：你能类比正弦函数，画出余弦函数ycosx,xR的图像吗？

知识例2.画出ycosx,x0,2的应用

简图。

展示学生所画的图象

归

纳

小

结

学生板演，教师对学生在解题思路和规范性方面进行指导并总结。

让学生谈一谈本节课的收获并进行反思

教师归纳

让学生巩固“五点法”，记住五点的坐标和平移法。

在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象认知。培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体系。

Ⅴ、知识总结

知识：

方法：

布

置

作

业

Ⅵ、布置作业

必做：练习的1、2 选做：习题1

作业分两个层次：层次一要求所有的学生都要完成；层次二要求学有余力的学生完成

将课堂延伸，使学生将所学知识与方法再认识和升华，进一步促进学生认知结构内化。注重学生的个体发展，是每个层次的学生都有所进步。

课外提升：用“五点法”画出下列函数的图像。

（1）y2sinx,x0,2

（2）ysin2x,x0,2

(3)ysinx,x0,2

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Ⅷ、板书设计

§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

一、正弦余弦函数函数的定义 二、正弦函数的图像

简单演

三、例题分析

例1

五、小结

六、作业

四、余弦函数的图像

例题分析

例2

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