复习参考题优质课教案推荐

概率、统计及统计案例

【真题典例】

1 / 18

概率

挖命题

【考情探究】

考点

内容解读

5年考情

考题示例

2017课标全国Ⅲ,18,12分

2016课标全国Ⅱ,18,12分

2018课标全国Ⅱ,5,5分

2015课标Ⅰ,4,5分

2017课标全国Ⅰ,4,5分

2016课标全国Ⅱ,8,5分

考向

频率与概率的关系

频率与概率的关系

关联考点

数据分析

平均值

预测热度

会用列举法计算一些随机随机事件

事件所含的基本事件及事的概率

件发生的概率

古典

理解古典概型及其概率计概型

几何

概型

算公式

了解几何概型的意义,会解与几何概型相交汇的线性规划、圆及其他图形的概率

★★☆

古典概型概率的计算

用列举法列举基本事件

古典概型概率的计算

几何概型概率的计算

几何概型概率的计算

用列举法求概率

用面积之比求概率

用长度之比求概率

★★★

★★★

分析解读

本节内容是高考重点考查的内容之一,最近几年有以下特点:1.古典概型主要考查等可能事件发生的概率,也常与对立事件、互斥事件的概率及统计知识综合起来考查;2.几何概型试题也有所体现,可能考查力度会有所增加,以选择题、填空题为主.本节内容在高考中分值约为5分,属容易题.

破考点

【考点集训】

考点一

随机事件的概率

A.1

B.

1.(2018湖南郴州第二次教学质量监测,3)甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是(

)

C.

D.

答案

D

2.(2017天津红桥一模,10)经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表:

排队人数

0

1

2

3

4

≥5

概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04

则该营业窗口上午9点钟时至少有2人排队的概率是

.

答案

0.74

考点二

古典概型

1.(2018湖南(长郡中学、衡阳八中)、江西(南昌二中)等十四校第二次联考,9)已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为(

)

A.0.2

B.0.25

C.0.4

答案

C

D.0.35

2.(2017广东茂名一模,4)在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数,则这个数能被4整除的概率是(

)

A.

B.

C.

D.

答案

D

2 / 18

3.(2017山西一模,12)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题,则其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C

考点三

几何概型

1.(2018安徽安庆二模,4)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套,如图所示是一枚3克圆形金质纪念币,直径为18

mm,小米同学为了测算图中装饰狗的面积,他用1枚质地均匀的针向纪念币上投掷500次,其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上,据此可估计装饰狗的面积大约是(

)

A.C.

mm2

B.

mm2

mm2

mm2

D.答案

B

2.(2018山东烟台高考诊断性测试,4)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的,如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

在区间[0,e]上随机取一个实数x,则f(x)的值不小于常数e的概率是(

)

3.(2017陕西榆林二模,4)若函数f(x)=

A.

B.1-

C.

D.

答案

B

炼技法

【方法集训】

方法1

古典概型概率的求法

1.(2018黑龙江哈三中12月模拟,6)一次数学考试中,4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答,则第22题和第23题都有同学选答的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C

3 / 18

2.(2017江西红色七校第一次联考,5)“序数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1258),在两位的“序数”中任取一个数,比56大的概率是(

)

A.

B.

C.

D.

答案

A

3.(2017安徽江南十校联考,14)某学校高三年级共有11个班,其中1~4班为文科班,5~11班为理科班,现从该校文科班和理科班中各选一个班去参加学校组织的一项公益活动,则所选的两个班的序号之积为3的倍数的概率为

.

答案

方法2

几何概型概率的求法

1.(2017广东韶关六校联考,5)设函数f(x)=-x2+4x-3,若从区间[2,6]上任取一个实数x0,则所选取的实数x0满足f(x0)≥0的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

2.(2018湖南郴州第二次教学质量检测,3)如图是一边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为(

)

A.

B.

C.1-

D.1-

答案

C

3.(2017湖南衡阳八中一模,7)如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(

)

A.1-

B.

C.

D.1-

答案

A

4 / 18

过专题

【五年高考】

A组

统一命题·课标卷题组

考点一

随机事件的概率

1.(2017课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

最高气温

[10,15)

[15,20)

[20,25)

天数

2

16

36

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

[25,30)

25

[30,35)

7

[35,40)

4

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.

解析

(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,

由表格数据知,最高气温低于25的频率为 =0.6,

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,

若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;

若最高气温位于区间[20,25),

则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.

所以,Y的所有可能值为900,300,-100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20,

由表格数据知,最高气温不低于20的频率为

=0.8,

因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

2.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

上年度出险次数

0

1

2

3

4

≥5

保费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

出险次数

0

1

2

3

4

≥5

频数

60

50

30

30

20

10

(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;

(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

解析

(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.

由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为故P(A)的估计值为0.55.(3分)

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.

由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为故P(B)的估计值为0.3.(6分)

(3)由所给数据得

5 / 18

=0.3,

=0.55,

保费

频率

0.85a

0.30

a

0.25

1.25a

0.15

1.5a

0.15

1.75a

0.10

2a

0.05

(10分)

调查的200名续保人的平均保费为

0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192

5a.

因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192

5a.(12分)

考点二

古典概型

1.(2018课标全国Ⅱ,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为(

)

A.0.6

B.0.5

C.0.4

D.0.3

答案

D

2.(2018课标全国Ⅲ,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(

)

A.0.3

B.0.4

C.0.6

D.0.7

答案

B

3.(2017课标全国Ⅱ,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

D

4.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C

5.(2015课标Ⅰ,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C

考点三

几何概型

1.(2017课标全国Ⅰ,4,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

2.(2016课标全国Ⅱ,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

6 / 18

B组

自主命题·省(区、市)卷题组

考点一

随机事件的概率

1.(2018北京,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

电影类型

第一类

第二类

第三类

第四类

电影部数

140

50

300

200

好评率

0.4

0.2

0.15

0.25

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;

(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)

解析

(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2

000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.

故所求概率为 =0.025.

第五类

800

0.2

第六类

510

0.1

(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是

140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1

=56+10+45+50+160+51

=372.

故所求概率估计为1- =0.814.

(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.

2.(2015北京,17,13分)某超市随机选取1

000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.

商品

甲

乙

丙

丁

顾客人数

100

√

×

√

√

217

×

√

×

√

200

√

√

√

×

300

√

×

√

×

85

√

×

×

×

98

×

√

×

×

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;

(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;

(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?

解析

(1)从统计表可以看出,在这1

000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 =0.2.

(2)从统计表可以看出,在这1

000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.

所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为(3)与(1)同理,可得:

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为

=0.2,

=0.6,

=0.1.

=0.3.

7 / 18

所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.

考点二

古典概型

1.(2017天津,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C

2.(2016北京,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

3.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是

(结果用最简分数表示).

答案

4.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为

.

答案

5.(2018天津,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?

(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.

解析

(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.

(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.

②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.

所以,事件M发生的概率P(M)=.

考点三

几何概型

的图象上.1.(2015福建,8,5分)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=

-

若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

8 / 18

2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=

-

的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是

.

答案

C组

教师专用题组

考点一

随机事件的概率

1.(2014陕西,19,12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:

赔付金额(元)

0

1

000

2

000

3

000

4

000

车辆数(辆)

500

130

100

150

120

(1)若每辆车的投保金额均为2

800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;

(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4

000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4

000元的概率.

解析

(1)设A表示事件“赔付金额为3

000元”,B表示事件“赔付金额为4

000元”,以频率估计概率得

P(A)= =0.15,P(B)==0.12.

由于投保金额为2

800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3

000元和4

000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4

000元”,由已知,知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1

000=100辆,而赔付金额为4

000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4

000元的频率为概率得P(C)=0.24.

2.(2012课标全国,18,12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

日需求量n

14

15

16

17

18

频数

10

20

16

16

15

(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;

=0.24,由频率估计 19

13

20

10

(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.

解析

(1)当日需求量n≥17时,利润y=85.

当日需求量n<17时,利润y=10n-85.

所以y关于n的函数解析式为

y=

-

(n∈N).

(2)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为

(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.

(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.

9 / 18

考点二

古典概型

1.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C

2.(2015广东,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(

)

A.0.4

B.0.6

C.0.8

D.1

答案

B

3.(2014江西,3,5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

4.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

5.(2014湖北,5,5分)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则(

)

A.p1

B.p2

C.p1

D.p3

答案

C

6.(2013课标Ⅰ,3,5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

7.(2011课标,6,5分)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

A

8.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是

.

答案

9.(2014课标Ⅰ,13,5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为

.

答案

10.(2014广东,12,5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为

.

答案

11.(2014浙江,14,4分)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是

.

答案

12.(2013课标Ⅱ,13,5分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是

.

答案

0.2

10 / 18

13.(2017山东,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.

(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.

解析

(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,

则所求事件的概率P==.

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.

包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,

则所求事件的概率P=.

14.(2016山东,16,12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:

①若xy

3,则奖励玩具一个;

②若xy≥8,则奖励水杯一个;

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

(1)求小亮获得玩具的概率;

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

解析

用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,

1

x

4,1

y

4}一一对应.

因为S中元素的个数是4×4=16,

所以基本事件总数为16.

(1)记“xy

3”为事件A,

则事件A包含的基本事件数共5个,

即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).

所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.

(2)记“xy≥8”为事件B,“3

则事件B包含的基本事件数共6个,

即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).

所以P(B)==.

事件C包含的基本事件数共5个,

即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).

所以P(C)=.因为>,

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

15.(2015天津,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.

(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;

(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.

11 / 18

(i)用所给编号列出所有可能的结果;

(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.

解析

(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

(2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.

(ii)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.

因此,事件A发生的概率P(A)==.

16.(2015湖南,16,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.

(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;

(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.

解析

(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.

(2)不正确.理由如下:

由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},

共4种,所以中奖的概率为=,不中奖的概率为1-=>,故这种说法不正确.

17.(2015福建,18,12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.

组号

分组

频数

1

[4,5)

2

2

[5,6)

8

3

[6,7)

7

4

[7,8]

3

(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;

(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.

解析

(1)解法一:融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.

其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.

所以所求的概率P=.

解法二:融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.

其中,没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{B1,B2},共1个.

所以所求的概率P=1-=.

(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于

4.5×+5.5×+6.5×+7.5×=6.05.

18.(2015四川,17,12分)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.

12 / 18

(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);

(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

3

2

1

4

5

3

2

4

5

1

座位号

解析

(1)余下两种坐法如下表所示:

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

3

2

4

1

5

座位号

3

2

5

4

1

(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为:

乘客

P1

P2

P3

P4

P5

2

1

3

4

5

2

3

1

4

5

2

3

4

1

5

2

3

4

5

1

座位号

2

3

5

4

1

2

4

3

1

5

2

4

3

5

1

2

5

3

4

1

于是,所有可能的坐法共8种.

设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.

所以P(A)==.

答:乘客P5坐到5号座位的概率是.

19.(2015山东,16,12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)

参加演讲社团

未参加演讲社团

参加书法社团

8

2

未参加书法社团

5

30

(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.

解析

(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,

故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人,

所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P==.

(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:

{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},

{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},

{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},

共15个.

根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.

事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:

{A1,B2},{A1,B3},共2个.

因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.

13 / 18

20.(2014四川,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;

(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.

解析

(1)由题意知,(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.

设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,

则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.

所以P(A)==.

因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.

(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,

则事件

包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.

所以P(B)=1-P(

)=1-=.

因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.

21.(2014天津,15,13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:

一年级

二年级

三年级

男同学

A

B

C

女同学

X

Y

Z

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).

(1)用表中字母列举出所有可能的结果;

(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.

解析

(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.

因此,事件M发生的概率为=.

考点三

几何概型

1.(2015山东,7,5分)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1

lo

1”发生的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

A

2.(2015湖北,8,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y

”的概率,p2为事件“xy

”的概率,则(

)

A.p1

B.p2<

C.

D.p1<

答案

D

3.(2015陕西,12,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|

1,则y≥x的概率为(

)

A.+

B.+

C.-

D.-

答案

C

4.(2014湖南,5,5分)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X

1的概率为(

)

14 / 18

A.

B.

C.

D.

答案

B

5.(2014辽宁,6,5分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

6.(2015重庆,15,5分)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为

.

答案

7.(2014重庆,15,5分)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为

.(用数字作答)

答案

【三年模拟】

时间:50分钟

分值:80分

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.(2018重庆九校联盟第一次联考,4)已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=,某人猜测事件

∩

发生,则此人猜测正确的概率为(

)

A.1

B.

C.

D.0

答案

C

2.(2018江西八所重点中学联考,5)在区域

-

-

内任意取一点P(x,y),则x2+y2>1的概率是(

)

A.B.C.D.

答案

B

- -

≥ 3.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟(三),6)在满足条件

-

≥ 的区域内任取一点M(x,y),

-

则点M(x,y)满足(x-1)2+y2<1的概率为(

)

A.

B.

C.1-

D.1-

答案

B

4.(2017江西宜春高考二模,9)将一个质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,若已知出现了点数5,则使不等式a-b+3>0成立的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C

5.(2019届广东惠州第一次调研,7)如图所示,黑色部分和白色部分图形是由曲线y=,y=-,y=x,y=-x及单位圆构成的.在单位圆内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(

)

15 / 18

A.

B.

C.

D.

答案

A

6.(2019届贵州贵阳重点中学模拟,3)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

A

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.(2018广东江门3月模拟(一模),16)两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为

.

答案

0.44

8.(2019届河南名校联盟调研,15)如图所示,正六边形ABCDEF中,线段AD与线段BE交于点G,圆O1,O2分别是△ABG与△DEG的内切圆,圆O3,O4分别是四边形BCDG与四边形AGEF的内切圆,则往六边形ABCDEF中任意投掷一点,该点落在图中阴影区域内的概率为

.

答案

三、解答题(共40分)

9.(2019届广东惠州第一次调研,18)某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50),得到的频率分布直方图如图所示.

(1)下表是年龄的频数分布表,求正整数a,b的值;

区间

[25,30)

人数

50

[30,35)

50

[35,40)

a

[40,45)

150

[45,50)

b

16 / 18

(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,年龄在第1,2,3组的人数分别是多少?

(3)在(2)的前提下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求至少有1人的年龄在第3组的概率.

解析

(1)由题设可知,a=0.08×5×500=200,b=0.02×5×500=50.

(2)第1,2,3组共有50+50+200=300人,

利用分层抽样方法在300人中抽取6人,每组抽取的人数如下:

第1组的人数为6× =1,第 2组的人数为6× =1,第 3组的人数为6× =4,

所以第1,2,3组分别抽取1人,1人,4人.

(3)设第1组的1人为A,第2组的1人为B,第3组的4人分别为C1,C2,C3,C4,则从6人中随机抽取两人有:

(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4),共15种可能.

其中2人年龄均不在第3组的有(A,B),共1种可能,

所以至少有1人年龄在第3组的概率为1-=.

10.(2019届安徽皖中地区模拟,18)2017年某市有2万多文科考生参加高考,除去成绩为670分(含670分)以上的3人与成绩为350分(不含350分)以下的3

836人,还有约1.9万文科考生的成绩集中在[350,670)内,其成绩的频率分布如下表所示:

分数段

[350,390)

[390,430)

[430,470)

[470,510)

频率

0.108

0.133

0.161

0.183

分数段

[510,550)

[550,590)

[590,630)

[630,670)

频率

0.193

0.154

0.061

0.007

(1)试估计该次高考成绩在[350,670)内文科考生的平均分(精确到0.1);

(2)一考生填报志愿后,得知另外有4名同分数考生也填报了该志愿.若该志愿计划录取3人,并在同分数考生中随机录取,求该考生不被该志愿录取的概率.

解析

(1)成绩在[350,670)内的平均分为650×0.007+610×0.061+570×0.154+530×0.193+490×0.183+450×0.161+410×0.133+370×0.108=488.44≈488.4(分).

(2)该考生记为A,另外4名同分数考生分别记为b、c、d、e,

则基本事件有(A,b,c),(A,b,d),(A,b,e),(A,c,d),(A,c,e),(A,d,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e),(c,d,e),共10种,该考生不被录取共4种,故概率P==0.4.

11.(2019届贵州贵阳重点中学模拟,18)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面的试验结果:

A配方的频数分布表

指标值分组

[90,94)

[94,98)

[98,102)

频数

8

20

42

B配方的频数分布表

指标值分组

[90,94)

[94,98)

[98,102)

频数

4

12

42

(1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;

[102,106)

22

[106,110)

8

[102,106)

32

[106,110)

10

-

(2)已知用B配方生产的一种产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系为y=

估计用B配方生产的一件产品

的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均每件的利润.

解析

(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为用B配方生产的产品中优质品的频率为 =0.42,∴用 =0.3,∴用 A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.

B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.

(2)由题意知,用B配方生产的一种产品,当其质量指标值t≥94时,产品的利润大于0.

由试验结果知,t≥94的频率为0.96,∴用B配方生产的一种产品的利润大于0的概率为0.96.

17 / 18

用B配方生产上述100件产品平均每件的利润为

×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元).

12.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,18)某班级甲、乙两个小组各有10位同学,在一次期中考试中,两个小组同学的成绩如下:

甲组:94,69,73,86,74,75,86,88,97,98;

乙组:75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.

(1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图,判断哪一个小组同学的成绩差异较大,并说明理由;

(2)从这两个小组成绩在90分以上的同学中随机选取2人在全班介绍学习经验,求选出的2位同学不在同一个小组的概率.

解析

(1)茎叶图如图,

由茎叶图中数据分布可知,甲组数据分布比较分散,乙组数据分布相对集中,所以甲组同学的成绩差异较大.

(也可通过计算方差说明,

=101.6,

=37.4,

>

)

甲乙甲乙(2)设甲组成绩在90分以上的三位同学为A1,A2,A3;乙组成绩在90分以上的三位同学为B1,B2,B3.从这6位同学中选出2位同学,共有15个基本事件,列举如下:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3);

(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3);

(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3);

(B1,B2),(B1,B3);

(B2,B3).

其中,从这6位同学中选出的2位同学不在同一个小组的基本事件有9个,

所以所求概率P==.

18 / 18