复习参考题教学设计一等奖

1．向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型

线平行、点共线等问题

垂直问题

所用知识

共线向量定理

公式表示

a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，

其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，

其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量

a·bcos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非|a||b|零向量

长度问题

数量积的定义

|a|＝a2＝x2＋y2，

其中a＝(x，y)，a为非零向量

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：

平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．

2．平面向量在物理中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ

(θ为F与s的夹角)．

3．平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．

设向量运算还原数量积的运算性质

夹角问题

数量积的定义

此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) →→(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．(

√

) (2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(

×

) (3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(

×

) →→(4)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．(

×

) →(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP＝→→→OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(

√

)

1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是(

) A．锐角三角形

C．钝角三角形

答案

B →→解析

∵AB＝(2，－2)，CB＝(6,6)，

→→∴AB·CB＝12－12＝0，

→→∴AB⊥CB，∴△ABC为直角三角形．

→→→→2．已知在△ABC中，|BC|＝10，AB·AC＝－16，D为边BC的中点，则|AD|等于(

) A．6

B．5

C．4

D．3 答案

D →→→→解析

在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝BC2，又AB·AC＝|AB|·|AC|cos →→→A＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以AB＋AC＝2AD，→→两边平方得4|AD|2＝68－32＝36，解得|AD|＝3，故选D. →→→3．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________．

答案

1∶2 解析

设D为AC的中点，

如图所示，连接OD，

→→→则OA＋OC＝2OD. B．直角三角形

D．等腰直角三角形

→→→又OA＋OC＝－2OB，

→→所以OD＝－OB，即O为BD的中点，

从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2. y→→0，，4．平面上有三个点A(－2，y)，BC(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________．

2答案

y2＝8x(x≠0) yy→→2，－，BC＝x，，

解析

由题意得AB＝22→→→→又AB⊥BC，∴AB·BC＝0，

yy2，－·x，＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．

即225．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J. 答案

300 解析

W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉

＝6×100×cos 60°＝300(J)．

题型一

向量在平面几何中的应用

→例1

已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝→→→OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(

) A．内心

C．重心

答案

C →→→→→→→→解析

由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB→→＋AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．

引申探究

→→ABAC→→＋在本例中，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC→→|AB||AC|的________．

答案

内心

B．外心

D．垂心

→→→→→→ABABACACABAC→→→＋＋解析

由条件，得OP－OA＝λ，即AP＝λ，而和分别表示平行→→→→→→|AB||AC||AB||AC||AB||AC|→→ABAC→→→于AB，AC的单位向量，故＋平分∠BAC，即AP平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC→→|AB||AC|的内心．

思维升华

解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．

→→

(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB＝________. →→→→→(2)平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是(

) A．矩形

C．正方形

1答案

(1)

(2)D 2→→→→→1→解析

(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE＝FD，∴BE＝FD＝AD－AB，

2→→→又∵AC＝AD＋AB，

→→→→→1→∴AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB) 2→1→→→→1→2＝AD2－AD·AB＋AD·AB－AB

221→→1→→＝|AD|2＋|AD||AB|cos 60°－|AB|2

2211→1→＝1＋×|AB|－|AB|2＝1. 2221→→→→1－|AB||AB|＝0，又|AB|≠0，∴|AB|＝. ∴22→→→→→→→→→→(2)AB＋CD＝0⇒AB＝－CD＝DC⇒平面四边形ABCD是平行四边形，(AB－AD)·AC＝DB·AC→→＝0⇒DB⊥AC，所以平行四边形ABCD是菱形．

B．梯形

D．菱形

题型二

向量在解析几何中的应用

→→→例2

(1)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．

→→(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足OM·CM＝0，y则＝______. x

答案

(1)2x＋y－3＝0

(2)±3 →→→解析

(1)∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，

→→→→→BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC，

∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，

解得k＝－2或k＝11. 由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0. →→(2)∵OM·CM＝0，∴OM⊥CM，

∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，

由|2k|y＝3，得k＝±3，即＝±3. x1＋k2思维升华

向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．

已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，过→→圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则PE·PF的最小值是(

) A．5

C．10

答案

B 解析

圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2，

圆M(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，圆心M(2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM＝5＞2＋1，故两圆相离．

如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，

→→→→则PE·PF最小值是HE·HF，HC＝CM－1＝5－1＝4，HE＝HC2－CE2＝16－4＝23，

CE1sin ∠CHE＝＝，

CH21∴cos∠EHF＝cos 2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝，

21→→→→HE·HF＝|HE|·|HF|cos∠EHF＝23×23×＝6，故选B. 2B．6 D．12

题型三

向量的综合应用

y≥x，例3

(1)已知x，y满足x＋y≤2，x≥a，值的8倍，则实数a的值是(

) A．1

1C.

41B.

31D.

8

→→→→若OA＝(x,1)，OB＝(2，y)，且OA·OB的最大值是最小(2)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐→→标原点，且OM·ON＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．

答案

(1)D

(2)3 →→→→解析

(1)因为OA＝(x,1)，OB＝(2，y)，所以OA·OB＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，

1所以3＝8×3a，解得a＝，故选D. 811→→1，1，N(xN，－1)，所以OM·，1·(2)由图象可知，MON＝(x，－1)＝x－1＝0，解得N222N12－＝3. xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×2思维升华

利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．

→→→→

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，

→→→则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是(

) A．22

C．42

答案

D →→→→解析

由|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，

π→→知〈OA，OB〉＝. 3当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，

→→在△OAB中，取OC＝λOA，过点C作CD∥OB交AB于点D，作DE∥OA交OB于点E，显CDACCD2－2λ→→→→→然OD＝λOA＋CD.由于＝，＝，∴CD＝(1－λ)OB，

OBAOOB2→→→→→→∴OD＝λOA＋(1－λ)OB＝λOA＋μOB＝OP，

∴λ＋μ＝1时，点P在线段AB上，

∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)．

考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，

1π其面积为S＝4S△OAB＝4××2×2sin ＝43. 23

三审图形抓特点

πω＞0，0＜φ＜一个周期内的图象上的四个典例

已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)2π－，0，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个点，如图所示，A6π→对称中心，B与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为，则ω，

φ的值为(

) 12B．23 D．43

πA．ω＝2，φ＝

31πC．ω＝，φ＝

23πB．ω＝2，φ＝

61πD．ω＝，φ＝

26

解析

由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点为M，作MF⊥x轴，垂足为F，πππ→－，0，所以AF如图．B与D关于点E对称，CD在x轴上的投影为，知OF＝.又A61212Tππ＝＝＝，所以ω＝2.同时函数y＝sin(ωx＋φ)图象可以看作是由y＝sin ωx的图象向左平42ω4φφππ移得到，故可知＝＝，即φ＝. ω263

答案

A 温馨提醒

对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论间的联系．

[方法与技巧]

1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．

2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．

[失误与防范]

1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．

2．注意向量共线和两直线平行的关系．

3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) →→→→21．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△ABC的形状一定是(

) A．等边三角形

C．直角三角形

答案

C →→→→2解析

由(BC＋BA)·AC＝|AC|，

→→→→得AC·(BC＋BA－AC)＝0，

→→→→→→即AC·(BC＋BA＋CA)＝0,2AC·BA＝0，

→→∴AC⊥BA，∴A＝90°. →→又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，

故△ABC一定是直角三角形．

→→2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是(

) A．圆

C．双曲线

答案

D →→解析

∵PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，

→→∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，

∴y2＝x＋6.即点P的轨迹是抛物线．

→→→→3．在△ABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积的比值是(

) 1123A.

B.

C.

D.

3234答案

A →→解析

由题意可得PC＝2AP，

所以P是线段AC的三等分点(靠近点A)，

1易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3. 34．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共B．椭圆

D．抛物线

B．等腰三角形

D．等腰直角三角形

点力对物体做的功W为(

) A．lg 2

B．lg 5

C．1

D．2 答案

D 解析

F1＋F2＝(1,2lg 2)．

∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1) ＝2lg 5＋2lg 2＝2. π5.若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，2→→M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于(

) πA.

6C.7π

6B.D.7π

127π

3答案

B π7π解析

由题意知M(，A)，N(，－A)，

1212→→π7π又∵OM·ON＝×－A2＝0，

1212∴A＝7π.

1215→→6．已知在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________. 4答案

150°

→→解析

∵AB·AC<0，∴∠BAC为钝角，

115又∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝. 241∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°. 2→→→→→7．单位圆上三点A，B，C满足OA＋OB＋OC＝0，则向量OA，OB的夹角为________．

答案

120°

解析

∵A，B，C为单位圆上三点，

→→→∴|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，

→→→又∵OA＋OB＋OC＝0. →→→∴－OC＝OB＋OA. →→→→→→→∴OC2＝(OB＋OA)2＝OB2＋OA2＋2OB·OA，

1→→可得cos〈OA，OB〉＝－. 2→→∴向量OA，OB的夹角为120°. →→8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则BC·AO＝________. 25答案

－

2→→解析

设{AB，AC}为平面内一组基底．如图所示，O为△ABC的外心，设M为BC中点，连接OM、AM、OA，

则易知OM⊥BC. →→→又AO＝AM＋MO，

→→→→→→→→→∴BC·AO＝BC·(AM＋MO)＝BC·AM＋BC·MO

→→→→＝BC·AM(其中BC·MO＝0) →→1→→＝(AC－AB)·(AB＋AC) 21→125→＝(AC2－AB2)＝×(122－132)＝－. 222→→→9．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA·AM＝0，AM＝3→－MQ，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．

2解

设M(x，y)为所求轨迹上任一点，

设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，

→→→则PA＝(a,3)，AM＝(x－a，y)，MQ＝(－x，b－y)，

→→由PA·AM＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①

3→→由AM＝－MQ，得

2333x，y－b，

(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝222∴33y＝2y－2b，3x－a＝x，2

∴yb＝3.xa＝－，2

∴b＞0，y＞0，

xxxx＋＋3y＝0，

把a＝－代入①，得－2221整理得y＝x2(x≠0)．

4

1所以动点M的轨迹方程为y＝x2(x≠0)．

43sin x，，b＝(cos x，－1)．

10．已知向量a＝4(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；

(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，b＝2，sin B＝ππ62A＋x∈0，的取值范围．

，求f(x)＋4cos633解

(1)因为a∥b，

3所以cos x＋sin x＝0，

43所以tan x＝－. 4cos2x－2sin xcos x1－2tan x8cosx－sin 2x＝＝＝. sin2x＋cos2x1＋tan2x52π32x＋＋. (2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2sin42ab由正弦定理＝，得

sin Asin Bsin A＝2π3π，所以A＝，或A＝. 244π因为b＞a，所以A＝. 4ππ12A＋＝2sin2x＋－，

f(x)＋4cos642πππ11π0，，所以2x＋∈，，

因为x∈34412π312A＋≤2－. －1≤f(x)＋4cos622∴所求范围是31－1，2－. 22B组

专项能力提升

(时间：20分钟) 11．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝1，c·b＝1，|c|＝2，对任意的正实数t，1c＋ta＋b的最小值是(

) 则tA．2

C．4

答案

B B．22 D．42

112122c＋ta＋b2＝c2＋t2a2＋2b2＋2ta·解析

∵c＋c·b＋2a·b＝2＋t＋2＋2t＋≥2＋2ttttt21t2·2＋t1212c＋ta＋b的最小值2t·＝8(t＞0)，当且仅当t2＝2，2t＝，即t＝1时等号成立，所以tttt为22. 1112．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b32的夹角的范围是(

) π0，

A.6πC.3，π

答案

C 解析

设a与b的夹角为θ. 11∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx. 32∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b. ∵函数f(x)在R上有极值，

∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，

a2即Δ＝|a|－4a·b＞0，∴a·b＜，

42πB.6，π

π2D.3，3π

又∵|a|＝2|b|≠0，

a2a·b411∴cos θ＝＜2＝，即cos θ＜，

|a||b|a222π又∵θ∈[0，π]，∴θ∈3，π，故选C. →→→13．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．

311答案

(－，)∪(，＋∞) 422→→→解析

由已知得AB＝OB－OA＝(3,1)，

→→→AC＝OC－OA＝(2－m,1－m)．

→→若AB∥AC，则有3(1－m)＝2－m，

1解得m＝. 2→→由题设知，BA＝(－3，－1)，BC＝(－1－m，－m)．

∵∠ABC为锐角，

→→∴BA·BC＝3＋3m＋m>0，

3可得m>－. 41→→由题意知，当m＝时，AB∥AC. 2311故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是(－，)∪(，＋∞)．

422114．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则2α与β的夹角θ的取值范围是________．

π5π答案

6，6

解析

如图，向量α与β在单位圆O内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，1β为邻边的平行四边形的面积为，

21故以向量α，β为两边的三角形的面积为，故β的终点在如图所示的线段41π5π→α∥AB，且圆心O到AB的距离为，因此夹角θ的取值范围为，. AB上26615．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，→1→→1→且(PC＋PQ)·(PC－PQ)＝0. 22(1)求动点P的轨迹方程；

→→(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求PE·PF的最值．

解

(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．

→1→→1→由(PC＋PQ)·(PC－PQ)＝0，

221→→得|PC|2－|PQ|2＝0，

41即(2－x)2＋(－y)2－(8－x)2＝0，

4x2y2化简得＋＝1. 1612x2y2∴动点P在椭圆上，其轨迹方程为＋＝1. 1612→→→→→→(2)∵PE＝PN＋NE，PF＝PN＋NF，

→→且NE＋NF＝0. →→→2→2∴PE·PF＝PN－NE＝(－x)2＋(1－y)2－1

y21＝16(1－)＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16 1231＝－(y＋3)2＋19. 3∵－23≤y≤23. →→∴当y＝－3时，PE·PF的最大值为19，

→→当y＝23时，PE·PF的最小值为12－43. →→综上：PE·PF的最大值为19；

→→PE·PF的最小值为12－43.