复习参考题教案和课堂实录

《三角函数》复习教案

【知识网络】

应用

弧长公式

同角三角函数诱导

计算与化简

应用

的基本关系式

公式

证明恒等式

应用

三角函数的

已知三角函角度制与

任意角的

应用

任意角的概念

图像和性质

数值求角

弧度制

三角函数

和角公式

应用

倍角公式

应用

差角公式

应用

学法：

1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等

2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．

三角函数的图象与性质（一）

【考点指津】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．

【知识在线】

1．若3 +2cosx＜0，则x的范围是

．

2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是

（

）

ππππA．[，π]

B．

［0，］

C．

［－π，0］

D．

[，] 2442π3．下列函数中，周期为的偶函数是

（

）

2A．y=sin4x

B．

y=cos22x－sin22x

C．

y=tan2x

D．

y=cos2x 4．判断下列函数的奇偶性

（1）y=xsinx+x2cos2x是

函数；

第 1 页

共 7 页

（2）y=｜sin2x｜－xcotx是

函数；

7π（3）y=sin(+3x)是

函数．

25．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为

．

【讲练平台】

例1

（1）函数y=lg(1tanx)12sinx的定义域为

(2)若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足

（C）

ππA．α＞β

B．α＜β

C．α+β＜

D．

α+β＞

22分析

（1）函数的定义域为1-tanx0,

(*)

的解集，由于y=tanx的最小正1-2sinx0.周期为π，y=sinx的最小正周期为2π，

所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanxπ3π和y=sinx的图象先求出(－，

)上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域22ππ5π5π为{x｜2kπ－＜x＜2kπ+

，或2kπ+ ＜

x＜2kπ+

，k∈Z} ．

2664π

分析（2）sinα、cosβ不同名，故将不同名函数转化成同名函数，

cosβ转化成sin(

2－β)，运用y=sinx在［0，π］的单调性，便知答案为C．

2

点评

（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．

例2

判断下列函数的奇偶性：

(1)y= sinxcosx1sinxcosx.

；

(2)y=1cosx1sinxcosx

分析

讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(－x)f(x)或－f(x) ．

x

解

（1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2

，所以分2母为偶函数，所以原函数是奇函数．

ππ（2）定义域不关于原点对称（如x=－，但x≠），故不是奇函数，也不是偶函数．

22

点评

将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．

例3

求下列函数的最小正周期：

ππ（1）y=sin(2x－)sin(2x+ ) ；(2)y= 633.

cos2xcos(2x)3sin2xsin(2x)

分析

对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．

第 2 页

共 7 页

ππππ1

解

（1）y=sin(2x－)sin(2x+ －)= sin(4x－)，

626232ππ所以最小正周期为

=

．

421(cos2x)2（2）y=1cos2x(cos2x)(sin2x)2sin2x(sin2x)tan2x33sin2x2=233cos2x223cos2x2

3sin2x233tan2x13tan(2x).



=63tan2x31tan2x3π∴是小正周期为．

2

点评

求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)＋k或y=Acos(ωx+φ) ＋k或y=Atan(ωx+φ) ＋k的形式（其中A、ω、φ、k 为常数，ω≠0）．

例4

已知函数f(x)=5sinxcosx－53cos2x+53

(x∈R) ．

2(1)求f(x)的单调增区间；

（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．

分析

函数表达式较复杂，需先化简．

π51+cos2x53解

f(x)= sin2x－53×＋

=5sin(2x－)．

2232ππππ5π（1）由2kπ－≤2x－≤2kπ+，得［kπ－

，kπ+］（k∈Z）为f(x)的单2321212调增区间．

ππ5π5πkk（2）令2x－

=kπ+，得x= π+

（k∈Z），则x= π+

（k∈Z）为函数32212212ππky=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令2x－

=kπ，得x=π+

（k∈Z），∴

y=f(x)326πk图象的对称中心为点（π+，0）（k∈Z）．

26

点评

研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t，从而归结为讨论y=Asint的单调性．

【知能集成】

讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究第 3 页

共 7 页

在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决．

【训练反馈】

1．函数y=lg(2cosx－1)的定义域为

（

）

ππππA．{x｜－＜x＜}

B．{x｜－＜x＜｝

3366ππππC．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z} D．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z}

3366π2．如果α、β∈（，π），且tanα＜cotβ，那么必有

（

）

2A．α＜β

B．

β＜α

C．

α+β＜3π3π

D．

α+β＞

223．若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是

（

）

A．sinx

B．

cosx

C．

sin2x

D．

cos2x

4．下列命题中正确的是

（

）

A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ

ππB．函数y=sinxcotx的单调递增区间是（2kπ－，2kπ+），k∈Z 22C．函数y=1－cos2x

的最小正周期是2π

sin2xkππD．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=＋，k∈Z 24xx5．函数y=sin+cos在（－2π，2π）内的递增区间是

．

226．y=sin6x+cos6x的周期为

．

7．比较下列函数值的大小：

（1）sin2，sin3，sin4；

(2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（

kπ8．设f(x)=sin(x+) (k≠0)

．

53(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；

（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M与m．

ππ＜θ＜）．

42三角函数的图象与性质（二）

【考点指津】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．

【知识在线】

1．将y=cosx的图象作关于x轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象第 4 页

共 7 页

对应的函数是

（

）

A．y=cosx+1

B．y=cosx－1

C．y=－cosx+1

D．y=－cosx－1 2．函数f(x)=sin3x图象的对称中心的坐标一定是

（

）

11231C．（kπ，0），

k∈Z

D．（kπ，0），k∈Z 42A．

(kπ，0)，

k∈Z

B．（kπ，0），

k∈Z π3．函数y=cos(2x+)的图象的一个对称轴方程为

（

）

πππA．x=－－

B．x=－

C．x=

D．x=π

248ππ4．为了得到函数y=4sin(3x+)，x∈R的图象，只需把函数y=3sin(x+)的图象上所有点（

）

44A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

1B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

3C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

1D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变．

35．要得到y=sin(2x－

π3)的图象，只需将y=sin2x的图象

（

）

36ππA．向左平移个单位

B．

向右平移个单位

3ππC．向左平移个单位

D．

向右平移个单位

6【讲练平台】

π

例1

函数y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的最小值为－2，其图象相邻2的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．

分析

求函数的解析式，即求A、ω、φ的值．A与最大、最小值有关，易知A=2，ωT与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即=3π．得

T=6π，所以21xω=．所以y=2sin(+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求33πx出，易得解析式为y=2sin(

＋）．

36解略

点评

y=Asin(ωx+φ)中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）．

例2

右图为某三角函数图像的一段

y （1）试用y=Asin（ωx+φ)型函数表示其解析式；

（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．

3 O －3

π

313π

3x π第 5 页

共 7 页

解：（1）T= 13ππ－

=4π．

332π1∴ω=

=

．又A=3，由图象可知

T2xπ所给曲线是由y=3sin 沿x轴向右平移

23而得到的．

π1∴解析式为

y=3sin

(x－)．

23π1(2)设（x，y)为y=3sin(

x－

）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关26π于直线x=2π的对称点应为（4π－x，y)，故与y=3sin(

x－）关于直线x=2π对称的函126ππ11数解析式是y=3sin［（4π－x)－

］=－3sin(

x＋）．

2626

点评

y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sinωx的图象向左平移（φ＞0）或向右平移|φ|（φ＜0）个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图ω象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．

13

例3

已知函数y=cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R)．

22(1)当y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

π11+cos2x3 115解

(1)y= ·

+ ·

sin2x +1= sin(2x+)+

．

2222264πππ7当2x+

=2kπ+

，即x=kπ+，k∈Z时，ymax= ．

6264π1(2）由y=sinx图象左移个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标621不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），最后把图象向上平移

24个单位即可．

思考

还有其他变换途径吗？若有，请叙述．

点评

（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．

【知能集成】

已知三角函数y=Asin(ωx+φ）的图象，欲求其解析式，必须搞清A、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sinωx和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．

【训练反馈】

11．函数y= sin(2x+θ)的图象关于y轴对称的充要条件是

（

）

52ππA．θ=2kπ+

B．θ=kπ+

C．θ=2kπ+π

D．θ=kπ+π(k∈Z) 22第 6 页

共 7 页

π2．先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，3则所得函数图象对应的解析式为

（

）

ππA．y=sin(－2x+

)

B．y=sin(－2x－) 332π2πC．y=sin(－2x+

)

D．

y=sin(－2x－33) y 1 1 －1 3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，

那么f(x)可以写成

（

）

A．sin(1+x)

B．

sin(－1－x)

C．sin(x－1)

D．

sin(1－x) π14．y=tan(x－)在一个周期内的图象是

（

）

x 23

y y y y

O

O 252724O

x O

x x 



5

x

333336366363

B A C D

5．已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是

．

ππ6．将y=sin(3x－

)的图象向（左、右）

平移

个单位可得y=sin(3x+）的图像．

63π4π17．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=时取得最大值，当x=时取得929π1最小值－

，若A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，求该函数的解析表达式．

22

8．已知函数y=3 sinx+cosx，x∈R．

(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合；

（2）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b．

（1）求这段时间的最大温差；

y 温度/ ℃

（2）写出这段曲线的函数解析式．

30

20 10 时间/h 6 10 14 第 7 页

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