2.1.2 向量的几何表示第二课时教案

《数学》必会基础题型——《平面向量》

【基本概念与公式】

【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。

3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|1。

4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。ABBA。

8.三角形法则：

ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数）

9.平行四边形法则： 以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。

10.共线定理：aba//b。当0时，a与b同向；当0时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若a(x,y)，则|a|x2y2，a|a|2，|ab|(ab)2

213.数量积与夹角公式：ab|a||b|cos； cosab

|a||b|14.平行与垂直：a//babx1y2x2y1；abab0x1x2y1y20

题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。

（5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若a与b共线，

b与c共线，则a与c共线。

（8）若mamb，则ab。 （9）若mana，则mn。

（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。

1

（11）若ab|a||b|，则a//b。 （12）若|ab||ab|，则ab。

题型2.向量的加减运算

1.设a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则|ab| 。

2.化简(ABMB)(BOBC)OM 。

3.已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为 、 。

4.已知AC为AB与AD的和向量，且ACa,BDb，则AB ，AD 。

5.已知点C在线段AB上，且AC

题型3.向量的数乘运算

1.计算：（1）3(ab)2(ab) （2）2(2a5b3c)3(2a3b2c)

2.已知a(1,4),b(3,8)，则3a题型4.作图法球向量的和

已知向量a,b，如下图，请做出向量3a3AB,则AC BC，AB BC。

51b 。

213b和2ab。

22a b

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

，AC表示AD。

1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB

2.在平行四边形ABCD中，已知ACa,BDb，求AB和AD。

题型6.向量的坐标运算

1.已知AB(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是 。

2.已知PQ(3,5)，P(3,7)，则点Q的坐标是 。

2

3.若物体受三个力F1(1,2),F2(2,3),F3(1,4),则合力的坐标为 。

4.已知a(3,4)，b(5,2)，求ab，ab，3a2b。

5.已知A(1,2),B(3,2),向量a(x2,x3y2)与AB相等，求x,y的值。

6.已知AB(2,3)，BC(m,n)，CD(1,4)，则DA 。

7.已知O是坐标原点，A(2,1),B(4,8)，且AB3BC0，求OC的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知e1,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.e1e2和e1e2 B.3e12e2和4e26e1 C.e13e2和e23e1 D.e2和e2e12.已知a(3,4)，能与a构成基底的是（ ）

A.(3,4) B.(4,3) C.(3,4) D.(1,45555553)

题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|2，xOA150，求OA的坐标。

2.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|43，xOA60，求OA的坐标。

题型9.求数量积

1.已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）a(ab)，

（3）(a12b)b，（4）(2ab)(a3b)。

2.已知a(2,6),b(8,10)，求（1）|a|,|b|，（2）ab，（3）a(2ab)，

（4）(2ab)(a3b)。

题型10.求向量的夹角

1.已知|a|8,|b|3，ab12，求a与b的夹角。

3

2.已知a(3,1),b(23,2)，求a与b的夹角。

3.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cosBAC。

题型11.求向量的模

1.已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求（1）|ab|，（2）|2a3b|。

2.已知a(2,6),b(8,10)，求（1）|a|,|b|，（5）|ab|，（6）|a12b|。

3.已知|a|1，|b|2，|3a2b|3，求|3ab|。

题型12.求单位向量【与a平行的单位向量：ea|a|】

1.与a(12,5)平行的单位向量是 。

2.与m(1,12)平行的单位向量是 。

题型13.向量的平行与垂直

1.已知a(6,2)，b(3,m)，当m为何值时，（1）a//b？（2）ab？

2.已知a(1,2)，b(3,2)，（1）k为何值时，向量kab与a3b垂直？

（2）k为何值时，向量kab与a3b平行？

3.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：a(bc)。

题型14.三点共线问题

1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线。

2.设AB22(a5b),BC2a8b,CD3(ab)，求证：A、B、D三点共线。

3.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b，则一定共线的三点是 。

4

4.已知A(1,3)，B(8,1)，若点C(2a1,a2)在直线AB上，求a的值。

5.已知四个点的坐标O(0,0)，A(3,4)，B(1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使成立？

OAtOBOC

题型15.判断多边形的形状

1.若AB3e，CD5e，且|AD||BC|,则四边形的形状是 。

2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形。

3.已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求证：ABC是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内，OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证：ABC是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用

1.已知a(1,0)，b(2,1)，当k为何值时，向量kab与a3b平行？

2.已知a(3,5)，且ab，|b|2，求b的坐标。

3.已知a与b同向，b(1,2)，则ab10，求a的坐标。

3.已知a(1,2)，b(3,1)，c(5,4)，则c a b。

4.已知a(5,10)，b(3,4)，c(5,0)，请将用向量a,b表示向量c。

5.已知a(m,3)，b(2,1)，（1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围；

（2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围。

6.已知a(6,2)，b(3,m)，当m为何值时，（1）a与b的夹角为钝角？（2）a与b的夹角为锐角？

5

7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB//DC，AB2CD，求点C的坐标。

8.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求第四个顶点D的坐标。

9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度。

10.【2007年广东卷】已知ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，

（1）若ABAC0，求c的值；（2）若c5，求sinA的值。

【备用】

1.已知|a|3,|b|4,|ab|5，求|ab|和向量a,b的夹角。

2.已知xab，y2ab，且|a||b|1，ab，求x,y的夹角的余弦。

1.已知a(1,3),b(2,1)，则(3a2b)(2a5b) 65 。

4.已知两向量a(3,4),b(2,1)，求当axb与ab垂直时的x的值。

5.已知两向量a(1,3),b(2,)，a与b的夹角为锐角，求的范围。

变式：若a(,2),b(3,5)，a与b的夹角为钝角，求的取值范围。

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