2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学评价实录

2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示

【教学目标】

1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；

2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

【教学重难点】

重点：平面向量的正交分解，坐标表示

难点：正交分解的原因，坐标表示的运用

【教学过程】

一、知识回顾：

1．平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2；使得a1e12e2

说明：（1）不共线的向量e1，e2称为一组基底；

（2）基底不唯一，关键是不共线；

（3）给定基底，分解形式惟一. λ1，λ2.

向量的夹角: 2由a，e1，e2唯一确定.

已知两个非零向量a、b，作OAa，OBb，则∠AOB＝，叫向量a、b的夹角，

当= ，a、b同向；当= ，a、b反向（同向、反向通称平行）；

当= °，称a与b垂直，记作ab。

二、情境引入：

小球为什么会下滑？（具体见课件）

三、新知探究： 1、将同一个向量用两组不同基底表示出来（具体见课件）



2、正交分解的物理背景——力的正交分解（具体见课件）

由前面知识知道，平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个互相垂直的向量来表示，这样能给我们研究向量带来许多方便。

定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3、平面向量的坐标表示

思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

平面向量的坐标表示定义

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+y1

j………○

2

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y)………○2式叫做向量的坐标表示.其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i=(1,0) j=(0,1)，0=(0,0). 4. 在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定. 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标. 

5.备选练习：

y A O x 1. 如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a=_________

B P  a

j

O iA 2. 在平面直角坐标系下，起点是坐标原点O，终点A落在直线yx上，且模长为1的向量OA的坐标是___________ 四、典例精析：

例1：请写出图中向量OA,OB,BC的坐标

y

变式1：请在平面直角坐标系中作出向量a、b，其中a=（1,-3）、b=（-3，-1）.

O B (4,-1) x A(2,3) C(6,2)

例2:如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的坐标。



变式2：已知O为坐标原点，点A在第一象限，求向量OA|OA|43，xOA60，的坐标

【课堂小结】

向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。

将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。

【作业布置】

完成导学案上的课后练习

【课后反思】

本节课教学设计合理，例5的设置及各小组展示很好的体现了教师对学生学习数学能力的培养，依据教学目标，创设了有助于学生学习的活动，各小组热烈讨论，激情对抗，体现了民主、平等、互助的学习氛围。教学中，师生通过平等的对话与沟通，引导学生通过小组讨论和互助学习，体现了学生自主探索、动手实践、合作交流及阅读自学等多种学习方式，0

使学生知识与技能要求得到落实，学生数学思维能力得到提高。但是课堂气氛可以更活跃一些。