2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示精品学案

基于核心素养的“平面向量的正交分解及坐标表示”教学设计

八师一四八团中学 陈永霞

课程简介 2014年教育部颁布《教育部关于全面深化课程改革

落实立德树人根本任务的意见》，提出各学段的学生发展的核心素养体系.高中数学课程标准修订组研究提出高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六项，因此，落实数学核心素养就成为每位教师致力于追求的目标.本节课中，将通过情境导入、问题串启发、小组合作探究，完成平面向量的正交分解及其坐标表示，最终将数学核心素养渗透到课堂教学中，努力践行培养学生的数学核心素养.本课程适用于高一年级；选材是人教版高中数学必修4第二章第三节《平面向量的正交分解及坐标表示》. 教学背景：

本节内容是即平面向量的基本定理之后，作为桥梁和过渡，承接平面向量的坐标运算，从而为体现向量的巨大应用价值而提供服务.因此，只有准确认识“平面向量的正交分解与坐标表示”这节内容在教材中的地位，才能很好地把握教学要求和深广度.本节课的重难点是平面向量的坐标表示，通过问题串启发引导学生思考，突破重难点.通过本节课的学习，让学生进一步认识平面内任意向量都可以用坐标表示，为学生进入后期的坐标运算与向量应用打下基础. 一、教学目标：

1.知识目标：能简单应用平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解与坐标表示；

2.能力目标：培养学生的观察、发现问题的能力，加强思维能力的训练，通过对平面向量基本定理的应用，增强学生对向量的应用意识；

3.情感目标：分小组合作探究使学生体验与人合作的价值.

二、教学重点：

平面向量的坐标表示；

三、教学难点：

平面向量的坐标表示；

四、课 时：

1课时

五、教学过程：

1．情境导入：由学生分小组合作完成如下问题：

问题一：如图1所示，在光滑斜面上一个木块所受的重力G如何分解？怎样表达？

设计意图：通过学生熟悉的力的分解问题，引出本节主题，由此使学生感受到向量的正交分解与现实的紧密联系. 小组1：如图2，重力G分解为两个力，一个是木块所受的平行于斜面的力F1，另一个是木块产生的垂直于斜面的压力F2，即G=F1+F2.

问题二：平面向量基本定理的内容？什么是基底？基底有什么要求？

设计意图：本节内容实际上是平面向量基本定理的一个应用，本节所讨论的问题也是上一小节所讨论问题的深入，因此设计此问题起到复习巩固、衔接作用.

小组2：如果

,

是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量

，有且只有一对实数

λ1

, λ2 使得

= λ1

+ λ2

.其中

,

是一组基底，基底不共线. 2．新课内容：（探究性学习）

2．1平面向量的正交分解

概念建构：当不共线的一组基底互相垂直时，即把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解. 问题3：我们知道，在平面直角坐标系中，每个点都可用一对有序实数（即它的横、纵坐标）表示，那么，对直角坐标平面内的每一个向量，又如何表示呢？

图2 F1

G F2

G 图1

设计意图：通过类比平面直角坐标系中的点用有序实数对表示，提示学生思考在直角坐标系中表示一个向量的方法.联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

和

作为基底.因平面向量的正交分解是平面向量基本定理的简单应用，故体现了从一般到特殊的推理方法，培养了学生的逻辑推理素养. 生：思考······讨论······

小组3：在坐标轴上正交分解，用坐标表示

2．2平面向量的坐标表示（重难点）

概念建构：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

和

作为基底，对于平面直角坐标系内的一个向量

，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

=x

+ y

.于是，平面内任一向量

都可由x、y唯一确定，

=（x，y）叫做平面向量的坐标表示. 2．2．1平面向量坐标表示的具体方法一：平移至坐标原点

问题4：如图3，如何将向量a表达为坐标？

设计意图：让学生体验将每个向量平移，使起点与坐标原点重合，终点都会对应一个坐标，即为该向量的坐标.将图形放入坐标系中，使向量由“有向线段”转化为“坐标”，将形与数结合起来，体现了转化和数形结合的思想方法；向量的正交分解与坐标表示又是基本定理的应用，又体现了从一般到特殊的思想方法.

小组4：板演如图4

A Y Y

O

图3 X

=x

+ y

=（x，y）

= 结论1：平面内每个向量都可以用有序实数对唯一表示，且有：向量 的坐标与A点的坐标一一对应. 2．2．2平面向量坐标表示的具体方法二：不平移（保持原位置不动）

问题5：如图3，将向量a表达为坐标,还可以怎样处理？

设计意图：让学生体验任一向量都可不平移、直接进行正

O Y

O

图4

X B(X2,Y2,)

A(X1,Y1,)

图5 X

交分解，坐标可用表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.将向量a表达为坐标，可平移后正交分解，易可不平移直接正交分解.显然，强化了学生树立分类讨论的思想方法，促进学生思维缜密性、条理性和科学性的培养.

小组5：板演如图5 结论2:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去起点的坐标. 2.3例题

例1:在同一直角坐标系内画出下列向量.

（-1,2）

（1）

（1,2）

（2）

B(-1,2) A(1,2) Y Y

O

X

O

X 例2 如图6，分别用基底i和j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标. 解：由图6可知，

a=AA1+AA2=2i+3j

∴a=（2,3）

同理，

Y A2

b

-4 -2 4a

A1

2 A j

i

O -2 -4 2 4 X b=-2i+3j=（-2,3）

c=-2i-3j=（-2,-3）

c

d

d=2i-3j=（2,-3）

2.4练习及作业：

与

（1）.已知向量

=（-2,4），

=（1，-2），则

的关系是（ ）

A .不共线 B.相等 C.同向 D.反向

（2）.已知向量

—4 y）

-3 y ）

,

不共线，实数 x，y满足（3x

+（2x 图6

=6

+3

，则 x—y 的值等于（ ）

A．3 B.-3 C.0 D.2 （3）．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量 同方向的单位向量为(

) A.（

，

） B. （

，

） C. （

，

） D. （

，

） （4）.已知向量a=（5,2），（x2+y2，xy），且a=b，则x、y的值分别为

. b=

=4

，（5）.已知O是坐标原点，点A在第三象限

，向量

的坐标为 . （6）.设e1和e2是同一平面内的两个向量，则有（ ）

A.e1和e2一定平行；

B.e1和e2的模相等；

C.同一平面内的任一向量a都有a=1e1+2e2，(1,2R)

D.若e1和e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=1e1+2e2，(1,2R)

（7）.已知向量e1和e2不共线，实数x，y满足（3x—4y）（2x-3y）e2=6e1+3e2，e1+

则x—y的值等于（ ）

A．3 B.-3 C.0 D.2 (1,2R)，（8）.已知a,b不共线，且c=1a+2b，若c，则1的值为（

）

b共线，（9）.已知1>0, 2>0,

e1、且a=1e1+2e2，则a与e1

，e2是一组基底，. a与e2

（填共线或不共线）。（10）.如下图，平行四边形ABCD的两条对角线交于点M,且AB=a，AD=b，用a，b表示MA，MB，MC和MD.

六 课堂小结：

A

B D

M C （1）.体验平面向量基本定理的简单应用,即平面向量的正交分解与坐标表示；

（2）.平面内任意向量都可以用有序实数对唯一表示；

（3）.向量

终点坐标减去起点坐标；

（4）.体验数形结合、类比、分类讨论的思想方法. 七

课后小记与反思说明: 1．关于“重点突出，难点突破”.数学是思维的科学，问题是数学的心脏，而探究是是数学教学的生命线.本节课重点围绕平面向量的坐标表示，以问题串的方式启发，层层递进、螺旋上升，发挥学生学习的主体地位；同时，分类讨论的数学思想方法有利于提高学生的学习兴趣. 2．关于转化.将正交分解的矩形放入坐标系中，很自然的完成了向量从“有向线段”到“点的坐标”的巧妙转化，符合学生的认知规律，也体现了数形结合与转化的思想方法. 总之，数学核心素养的培养是个长期的过程，教师应致力于把握数学知识的本质；以数学核心素养的有效培养为暗线、以问题串启发和创设教学情境为明线，明暗交织；启发学生思考，鼓励学生与教师交流，学生之间相互交流；让学生在思考和交流中，在掌握知识技能的同时，理解知识的本质；感悟数学思想，积累思维的经验，形成和发展数学核心素养. 板书设计：

平面向量的正交分解及坐标表示

1.情境引入；

2.新课内容（探究性学习）；

2.1平面向量的正交分解；

2.2平面向量的坐标表示；

2.2.1具体方法一：平移后正交分解；

2.2.2具体方法二：不平移、直接正交分解；

3. 例题

4．练习及作业：

5．课堂小结：