2.3.1 变量之间的相关关系教案2

【学习目标】

1．了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义．

2．会作散点图，并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系．

3．会求回归直线方程，并能用回归直线方程解决有关问题．

【学习重点】变量间的相关性与回归直线方程

【基础知识】

1．相关关系

(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的______性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．

(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．

两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．

【做一做1】

下列图形中具有相关关系的两个变量是( )

2．线性相关

(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条______附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做__________．

yba(2)最小二乘法：求线性回归直线方程^

＝^x＋^时，使得样本数据的点到它的ab______________最小的方法叫做最小二乘法，其中^，^的值由以下公式给出：

a＝

，

ba其中，^是回归方程的____________，^是回归方程在y轴上的______．

线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．

【做一做2】

某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温/℃

用电量/千瓦时

18

24

13

34

10

38

－1 64 ybaba由表中数据得线性回归方程^

＝^x＋^中^≈－2，则^

≈__________. 重难点突破：1．相关关系与函数关系的异同

剖析：相同点：两者均是指两个变量的关系．

不同点：①函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．

②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系．

2．线性回归直线方程的性质

剖析：(1)回归直线过样本数据的中心．

所谓样本数据的中心，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心；对于以(xn，yn)为样本数据而言，(，)为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心．

(2)回归直线的单调性与样本数据的相关性．

如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b＞0时，直线单调递增，此时这两个变量正相关；当b＜0时，直线单调递减，此时这两个变量负相关．

[来源学科网ZXXK]【例题讲解】

【例题1】

设对变量x，y有如下观察的数据：

x y 151

40

152

41

153

41

154

41.5

156

42

157

42.5

158

43

159

44

160

45

162

源学+科+网][来163

46

164 45.5 45

(1)画出散点图．

(2)判断变量x，y是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？

【例题2】

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：

x y 3

2.5

[来源学科网ZXXK]4

3

5

4

6 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；yba(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程^

＝^x＋^；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？

(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

【例题3】

下列变量之间的关系属于相关关系的是( ) A．圆的周长和它的半径之间的关系

B．价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系

C．家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势

D．正方形面积和它的边长之间的关系

【达标检测】

1．(2011·北京丰台二模，文7)已知x，y的取值如下表：

x y 0

2.2

1

4.3

3

4.8

4 6.7 从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为

＝0.95x＋a，则a＝( ) A．3.25

B．2.6

C．2.2

D．0 2．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为

＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均工资为9 000元，则其居民人均消费水平为__________千元．

3．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下：

x y 3

4

5

6

2

3

8

9

9

12

12 14 则＝________，＝________，＝__________，＝__________，回归直线方程为__________．

4．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：

使用年限x 维修费用y[来源:Z,xx,k.Com]2

2.2

3

3.8

4

5.5

5

6.5

6 7.0 若由资料知y对x成线性相关关系．试求：

(1)线性回归方程＝的回归系数与；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

达标检测答案：1．B

线性回归方程一定经过样本取值的平均数点(，)，由取值表可计算＝＝2，＝＝，知回归方程为＝0.95x＋a，又经过点(2，)，代入得a＝2.6. 2．7.502

当x＝9千元时，y＝0.66×9＋1.562＝7.502. 3．6.5

8

327

396

＝1.14x＋0.59

根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，＝6.5，

＝8，＝327，＝396，回归直线方程为＝1.14x＋0.59.