2.1.2 向量的几何表示课堂实录【2】

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）

2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

[教学目标]

一、知识与能力：

1．

了解平面向量基本定理。

2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；

3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

二、过程与方法：

体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算

教学难点：平面向量基本定理．

一、复习回顾：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0

2．运算定律

结合律：λ(μa)=(λμ)a

；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，

λ(a+b)=λa+λb

3. 向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa. 二、师生互动，新课讲解：

思考：给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O，作OAe1，OBe2，OCa，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N. 由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得OM1e1，ON2e2. 由于OCOMON，所以a=1e1+2e2，也就是说任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式. 1．

平面向量基本定理

（1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得

a=1e1+2e2. 把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （2）向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角，

当=0时，a与b同向；当=180时，a与b反向. 如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.

例1

（课本P94例1）已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2。

解：

变式训练1：

如图在基底e1、e2下分解下列向量：

解：AB2e12e2，

CD3e13e2，

EF3e12e2，

GH6e13e2

2．

平面向量的正交分解及坐标表示

（1）正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. （2）向量的坐标表示

思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得

a=xi+yj，

把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作

a=(x,y), 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，

显然，

i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). （3）向量与坐标的关系

思考：与a相等的向量坐标是什么？

向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同）

当向量起点被限制在原点时，作OA=a，这时向量OA的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系.

例2（课本P96例2）

如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标. 解：a=2i+3j=(2,3), b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3).

变式训练2：

在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求他们的坐标. 解：设a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，c=(c1,c2)，则

a1=|a|cos45=2222，a2=|a|sin45=22; 2233313b1=|b|cos120=3; ，b2=|b|sin1203222231c1=|c|cos(-30)=423，c2=|c|sin(-30)=42, 22因此a3332,2,b,,c23,2. 22例3：已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|43，xOA60，求向量OA的坐标.

解：设点Ax,y，则x43cos6023,y43sin606

即A23,6，所以OA23,6.

变式训练3：如图，e1、e2为正交基底，分别写出图中向量a、b、c、d并分别求出它们的直角坐标. 解：a=2e1+3e2=(2,3)，b=-2e1+3e2=(-2,3)，

c=-2e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3e2=(2,-3).

三、课堂小结，巩固反思：

1．

平面向量基本定理；

2．

平面向量的正交分解；

3．

平面向量的坐标表示. 四、课时必记：

1、平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得功a=1e1+2e2.把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2、当向量起点被限制在原点时，作OA=a，这时向量OA的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系. 五、分层作业：

A组：

1、设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有(

) A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2、已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

3、已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于(

) A.3

B.-3

C.0

D.2 的分解式，

4、已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1=

. 5、已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).