阅读与思考 三角学与天文学教学设计(第一课时)

§1.3

三角函数的诱导公式(一)

编：王慧

审：姚庆瑜

2019年4月27日

学习目标

1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式二、三、四的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简问题．

[复习导入] 1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？

2. 2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？思考公式一的作用。

[新知预习] 诱导公式二

终边关系

图示

角π＋α与角α的终边关于____对称

公式二

诱导公式三

终边关系

图示

sin(π＋α)＝______,

cos(π＋α)＝_______, tan(π＋α)＝______ 角－α与角α的终边关于____对称

公式三

sin(－α)＝______,

cos(－α)＝______, tan(－α)＝______ 1

诱导公式四

终边关系

图示

角π－α与角α的终边关于___对称

公式四

sin(π－α)＝_______,

cos(π－α)＝______, tan(π－α)＝_______

思考1：对于任意给定一个角α，则角

π＋α、－α、π－α

的终边与角α的终边有什么关系？

思考2：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角

π＋α、－α、π－α

的终边与单位圆的交点坐标如何？

知识探究一

诱导公式二

思考3：根据三角函数定义，sin（π＋α）

、cos（π＋α）、tan（π＋α）的值分别是什么？你有什么发现？

诱导公式二

知识探究二

诱导公式三、四

思考4：根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？

思考5：π－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？（写出推导过程）

2 sinπ＋α＝－sin α，

cosπ＋α＝－cos α，

tanπ＋α＝tan α.

诱导公式三

诱导公式四

梳理

公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：

2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．

sin(π－α)＝sin α，

cos(π－α)＝－cos α，

tan(π－α)＝－tan α. sin－α＝－sin α，

cos－α＝cos α，

tan－α＝－tan α.

类型一

利用诱导公式求值

例1

求下列各三角函数式的值：

1cos225; 2sin

1116; 3sin33; 4cos2040.

考点

同名诱导公式(二、三、四)的综合应用

归纳总结

利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

(1)“负化正”：用公式一或三来转化．

(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．

(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．

(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．

3

类型二

利用诱导公式化简

例2 化简下列式子 sin180

cos180sin360cos180.

归纳总结

三角函数式的化简方法：

(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan 4.

1. 求下列各三角函数式的值：

π7

1cos420，2sin6

2. 化简下列各式

1sin180cossin180



2sin3cos2+tan

课堂小结：本节课你学到了什么？

作业布置：

完成《学习指导》对应课时

4