2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计

回归分析的基本思想及其初步应用

1．了解随机误差、残差、残差图的概念．

2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．

3．掌握建立线性回归模型的步骤．

【学法指导】

通过对典型案例的讨论，了解回归分析的基本思路、方法及其初步应用．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．学习中应该通过生活中详实事例理解回归分析的方法，其步骤为通过散点图，直观地了解两个变量的关系，然后，通过最小二乘法建立回归模型，最后通过分析残差、相关指数等，评价模型的好坏．重点是了解回归分析的思想方法，对其理论基础不做要求，避免单纯记忆和机械套用公式进行计算.

1．线性回归模型

(1)函数关系是一种

关系，而相关关系是一种

关系．

(2)回归分析是对具有

关系的两个变量进行统计分

析的一种常用方法．

(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，

(xn，yn)，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别

n∑xiyi－nx

y为b＝

＝^i＝1n2，a

＝

，其

^∑x2i－nxi＝1中

称为样本点的中心．

(4)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知参数，e称为

，自变量x称为

，因变量y称为

．

2．残差的概念

对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝

，i＝1,2，…，n，

其估计值为e

i＝

＝

，i＝1,2，…，n，e

i称为相应于点(xi，yi)的

．

3)利用R2刻画回归效果

^^R2＝ ；R2表示 变量对于 变量变化的贡献率．R2越接近于 ，表示回归的效果越好.

课堂导入]

“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否

有关？

线性回归方程探究点一

问题1

两个变量之间的关系分几类？

问题2

什么叫回归分析？

问题3

对具有线性相关关系的两个变量进行回归分析有哪几个步骤？

例1

若从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：

编号

1

2

3

4

5

6

7

8 身高/cm

165

165

157

170

175

165

155

170 体重/kg

48

57

50

54

64

61

43

59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重．

思考

根据前面得到的回归方程，能否预测一名美国女大学生的体重？建立回归模型后能否一劳永逸，在若干年后还可以使用，或者适用于多年以前的女大学生体重预测？

跟踪训练1

某班5名学生的数学和物理成绩如表：

学生

学科

A B C D E

数学成绩(x)

物理成绩(y)

(1)画出散点图；

88

78

76

65

73

71

66

64

63 61 (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归方程；

(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩

探究点二

线性回归分析

问题1

利用求得的回归方程进行预报，为什么得到的预报值和实际值并不相同？

问题2

给出两个变量的回归方程，怎样判断拟合效果的好坏？

问题3

如果R2≈0.64，表示什么意义？

例2

某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：

次数(x)

30

33

35

37

39

44

46

50

成绩(y)

30

34

37

39

42

46

48

51 (1)作出散点图；

(2)求出回归方程；

(3)作出残差图；

(4)计算相关指数R2；

(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．

小结

解答本类题目应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．

跟踪训练2

假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：

x 15.0

25.8

30.0

36.6

44.4 y 39.4

42.9

42.9

43.1

49.2 (1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；

(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；

(3)计算各组残差，并计算残差平方和；

(4)求相关指数R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？

当堂训练：

1．下列各组变量之间具有线性相关关系的是

(

) A．出租车费与行驶的里程

B．学习成绩与学生身高

C．身高与体重

D．铁的体积与质量

2．若劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的线性回归方程为y

＝50＋80x，则下列判断正确的是

(

) ^A．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元

B．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元

C．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元

D．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元

3．实验测得四组(x，y)的值是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y对x的线性回归方程是

^

^

(

) A.y

＝x＋1

C.y

＝2x＋1

^B.y

＝x＋2 ^

D.y

＝x－1 4．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线

的方程是

^

^

(

) A.y

＝1.23x＋4

^B.y

＝1.23x＋5 D.y

＝0.08x＋1.23 ^C.y

＝1.23x＋0.08

课堂小结：

1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；

(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；

(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y

＝b

x＋a

)；

(4)按一定规则估计回归方程中的参数；

(5)提出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等.

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