复习参考题教学设计及教案分析

平面向量中一题多解问题研究

中山市实验中学

王美华

学情分析：学生在前面已经系统复习完向量的相关知识，对向量基本概念掌握清楚.由于向量是代数知识与几何知识的有机结合，拥有几何代数的双重特性.许多向量的问题可以用以坐标为基础的代数和以向量的几何意义为背景的几何方法去解决.在实际解决问题时，学生们方法不够灵活，不能更好地采用多种方法去解决问题. 教学重点：学会面对问题，选用不同的方法.理解不同方法的背景，辨别不同方法所使用的知识. 核心素养：多种方法中体现了直观想象，逻辑推理和数学运算等数学核心素养的培养. 教学过程：

问题一：平面向量中基向量表示

例1：如图，在OAB中，OAa,OBb，点M,N分别是边OA,OB上的点，11OMa,ONb,设AN与BM相交于点P. 试用a,b表示向量OP; 32x解：法一：由M,P,B三点共线，得OPxOM(1x)OBOA(1x)OB

3N,P,A由三点共线,得yOPyON(1y)OA(1y)OAOB

2xy341y,1x 则有，从而x,y所以325512OPOAOB

55MQAM2,又因为

法二：过M做MQ平行于OB交AN于点Q，则ONAO3MQ2MPMQ2MP2,故,即

ON=NB,所以NB3BPNB3MB522 OPOMMPOMMBOM(OBOM)

553212 =OMOBab

5555AB3AE,BFFC,设ABa,ADb,DF,CE交跟踪练***行四边形ABCD中，于点P，用a,b表示AP. 解：法一：由E,P,C三点共线，得

APxAE(1x)AC由D,P,F三点共线,得

x32xa(1x)(ab)a(1x)b

33

b1yAPyAD(1y)AFyb(1y)(a)(1y)ab

2232x1y311y,1x，从而x,y3284 35所以APOAOB

48FQ1EB2,, 法二：过F做FQ平行于AB交CE于点Q，则EB2AB3115所以FQCD,PQPC,故EPEC

33855 APAEEPAEECAE(EBBC)

8815235 =a(ab)ab

38348 则有

问题二：平面向量的坐标形式及几何意义

例2：向量a(cos,sin),b(2sin,2cos),R.求|ab|的最大值. 解：法一：|a|21,|b|2(2sin)2(2cos)294sin4cos

ab2sin2cos

|ab|a2ab+b108cos1832

22法二：设aOA(cos,sin)，O为坐标原点，则点A的轨迹为单位圆.令bOB(2sin,2cos),那么点B的轨迹是什么呢？找一个中间点过渡一下，设cOC(sin,cos)(cos(2),sin(2))，则点C是由点A顺时针旋转得2到，那么点B是由点C再向右向上平移2个单位得到.

这样|ab||OAOB||BA.|而在ABC中，|AB|2,|BC|2，2那么当A,B,C三点共线时，|ab||BAm|ax具体动画过程请链接下面网址：2223.2https://netpad.net.cn/singleFile.html#posts/126633

跟踪练习2：向量|a|1,|b|2,它们夹角为，求当|atb|(tR)取得最小值时，

3atb与b的夹角. 解：法一：由题可知，|atb|当t

2213a2tabb12t4t2=4(t)2

4411时，|atb|有最小值.此时atbab，

44111(ab)babbb110，即ab与b的夹角为

4442法二：利用向量的几何意义，把向量a,b的起点放到一起，作出二者的相对位置关系，讨论t的正负性.当t0时，向量atb如图红色向量，显然随着t变大，|atb|越来越大，无最小值.当t0时，|atb|=|a|1.当t0时，向量atb如图红色向量，显然随着t变小，|atb|先变小后变大，当atb与b垂直时，|atb|取得最小值为此时atb与b夹角为3，2. 2

具体动画过程请链接下面网址：

https://netpad.net.cn/svg.html#posts/126715

课程小结：从上面的例题和练习中可以看到，向量一般可以选择用几何和代数的方法解决.在解决向量的问题时要把握它的双重性质，这样解决问题才会有的放矢，事半功倍.