复习参考题获奖说课稿

第二章《平面向量》教学设计（复习课）【教学目标】

来~*@源中国教育出版网

1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念. 2.了解平面向量基本定理. 3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）. 4.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）. 5.向量的坐标概念和坐标表示法. 6.向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）. 7.数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2，注意区别“实数与向量的乘法、向量与向量的乘法”. 【导入新课】

向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 1．

向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式

x1x2＋y1y2a·bcos θ＝＝2222 (θ为a与b的夹角)．

|a||b|x1＋y1x2＋y22．

平面向量在物理中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．[来源:学§科§网] (2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ

(θ

为F与s的夹角)．

3．

平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．

此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．

[难点正本

疑点清源] 1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．

2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．

1．

一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则F1与F3所成的角为________．

答案

90°

解析

如图，F3＝－(F1＋F2)．[来源:学科网] 在▱OACB中，|OA|＝1，|AC|＝2，

∠OAC＝60°，

∴|OC|＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，

→→∴∠AOC＝90°，即OA⊥OC，∴F1⊥F3. y→→0，，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为2．

平面上有三个点A(－2，y)，B2__________．

答案

y2＝8x (x≠0) yy→→2，－，BC＝x，，

解析

由题意得AB＝22→→→→又AB⊥BC，∴AB·BC＝0，

yy2，－·x，＝0，化简得y2＝8x (x≠0)．

即223．

河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．

答案

226 m/s 解析

如图所示小船在静水中的速度为

102＋22＝226 m/s. →→→4．

已知A、B是以C为圆心，半径为5的圆上的两点，且|AB|＝5，则AC·CB等于(

) 5A．－

2答案

A →解析

∵|AB|＝5＝r，∴∠ACB＝60°，

→→→→→→AC·CB＝－CA·CB＝－|CA|·|CB|·cos∠ACB

5＝－5·5cos 60°＝－. 25．

a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的(

) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案

B 解析

因为f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b.当f(x)为一次函数时，必a·a⊥b，

b＝0，须满足2即故f(x)为一次函数时一定有a⊥b.当a⊥b且|a|＝|b|2|b|－|a|≠0，|b|≠|a|，5B. 2

C．0

53D.

2

时，f(x)为常函数，所以“a⊥b”不是“f(x)为一次函数”的充分条件，故选

题型一

应用平面向量的几何意义解题

→→→→→→→例1

平面上的两个向量OA，OB满足|OA|＝a，|OB|＝b，且OA⊥OB，a2＋b2＝4.向量OP11→→x－2＋b2y－2＝1. ＝xOA＋yOB (x，y∈R)，且a2221→1→→x－OA＋y－OB；

(1)如果点M为线段AB的中点，求证：MP＝22→(2)求|OP|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值．

→思维启迪：对第(1)问，可先求OM，再由条件即可得到结论；对第(2)问，先设点M为线段AB的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定P，O，A，B四点共圆，结论即可得到．

(1)证明

因为点M为线段AB的中点，

→1→1→所以OM＝OA＋OB. 221→1→→→→→→所以MP＝OP－OM＝(xOA＋yOB)－2OA＋2OB

1→1→x－OA＋y－OB. ＝22(2)解

设点M为线段AB的中点，

→→→→→1→则由OA⊥OB，知|MA|＝|MB|＝|MO|＝|AB|＝1. 211x－2＋b2y－2＝1，得

又由(1)及a2221→1→→→→x－2OA2＋y－2OB2[来源:Zxxk.Com]

|MP|2＝|OP－OM|2＝2211x－2a2＋y－2b2＝1. ＝22→→→→所以|MP|＝|MO|＝|MA|＝|MB|＝1. 故P，O，A，B四点都在以M为圆心、1为半径的圆上，所以当且仅当OP为圆M的→直径时，|OP|max＝2. a2＋b2→→这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB＝|OA|·|OB|＝ab≤＝2，当且仅当a＝b2＝2时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2. 探究提高

本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点M为线段→AB的中点入手，借助条件及第(1)问的结论，去探究|OP|的最大值问题．

→→→→

在△ABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积之比是

(

)

1123

A. B. C. D.

3234答案

A 1→→解析

由已知可得PC＝2AP，∴P是线段AC的三等分点(靠近点A)，易知S△PAB＝3S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3. 题型二

平面向量在物理计算题中的应用

例2

质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．

答案

27 解析

方法一

由已知条件F1＋F2＋F3＝0，

22则F3＝－F1－F2，F2＝28. 3＝F1＋F2＋2|F1||F2|cos 60°因此，|F3|＝27.

→方法二

如图，|F1F2|2＝|F1|2＋

|F2|2－2|F1||F2|cos 60°＝12，

→→→则|OF1|2＋|F1F2|2＝|OF2|2，

即∠OF1F2为直角，

|F3|＝2F21＋|F→1F2|2＝27. 2 如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m，问F、摩擦力f所做的功分别为多少？

解

设木块的位移为s，

则F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20×F在竖直方向上的分力大小为

1|F|sin 30°＝50×＝25(N)，

2所以摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，

所以f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∴F，f所做的功分别为5003 J，－22 J. 题型三

平面向量与三角函数的交汇

例3

已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，且p与q是共线向量．

(1)求A的大小；[来源:学科网] (2)求函数y＝2sin2B＋cos解

(1)∵p∥q，

∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)(sin A－cos A)＝0，

33∴sin2A＝，sin A＝，

42∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°. (2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cosC－3B2

C－3B2取最大值时，B的大小．

3＝5003 (J)，

2180°－B－A－3B2

＝2sin2B＋cos(2B－60°)

＝1－cos 2B＋cos(2B－60°) ＝1－cos 2B＋cos 2Bcos 60°＋sin 2Bsin 60°

13＝1－cos 2B＋sin 2B

22＝1＋sin(2B－30°)，

当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2. 探究提高

向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．向量与其他知识的结合往往也是这种简单组合，因此这种题目较为简单．

△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(3a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．

答案

5π

6abc解析

∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(3a＋c)＝0，又∵＝＝，

sin Asin Bsin C则化简得a2＋c2－b2＝－3ac，

a2＋c2－b23∴cos B＝＝－，

2ac25π又0

平面向量与解析几何的综合问题

例4

已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足→1→→1→PC＋PQ·PC－PQ＝0. 为Q，且22(1)求动点P的轨迹方程；

→→(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE·PF的最小值．

解

(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．

→1→→1→PC＋PQ·PC－PQ＝0，

由221→1→得|PC|2－|PQ|2＝0，即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，

44x2y2化简得＋＝1. 1612x2y2所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1. 1612→→→→→→(2)因PE·PF＝(NE－NP)·(NF－NP) →→→→＝(－NF－NP)·(NF－NP)[来源:Z。xx。k.Com]

→→→＝(－NP)2－NF2＝NP2－1，

x2y2P是椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x0，y0)，[来源:学*科*网Z*X*X*K] 161222x0y04y202则有＋＝1，即x0＝16－，

16123→2又N(0,1)，所以NP2＝x20＋(y0－1)

112＝－y20－2y0＋17＝－(y0＋3)＋20. 33因y0∈[－23，23]，

→→→所以当y0＝23时，NP2取得最小值(23－1)2＝13－43，(此时x0＝0)，故PE·PF的最小值为12－43. 探究提高

本题是平面向量与解析几何的综合性问题，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和曲线等问题，该题的难点是向量条件的转化与应用，破解此问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算．

已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N→→在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．

→→解

设M(x0，y0)、N(x，y)．由MA＝2AN得

(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，

x0＝3－2x，∴

∵点M(x0，y0)在圆C上，

y＝3－2y.0

∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，

即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1. ∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.

利用平面向量解三角形

典例：(12分)已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝23sin A，cos2A，n＝cos A，－2，m⊥n. 222(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，cos B＝3，求b的长．

3审题视角

先根据m⊥n，利用两个向量的数量积将已知条件转化成三角形中边、角

的条件，然后利用正弦定理或余弦定理解题．

规范解答

解

(1)已知m⊥n，

AAA23sin ，cos2·cos ，－2

所以m·n＝222＝3sin A－(cos A＋1)＝0，[2分] π1A－＝，[4分] 即3sin A－cos A＝1，即sin62ππ5π因为0

666πππ所以A－＝，所以A＝.[6分] 663π3(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cos B＝，

33sin B＝1－cos2B＝由正弦定理知：161－＝，

33ab＝，[9分] sin Asin B2×634242＝，所以b＝.[12分] 3332

sin B所以b＝a·＝sin A

利用向量解三角形问题的一般步骤为

第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系；

第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成

三角形中的边角关系；

第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形；

第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答．

温馨提醒

解三角形问题要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，灵活进行变形．向量只是题目的载体，三角形中的条件及转化才是解题关键．

方法与技巧

1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．

2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．

3．用向量方法解决平面几何问题的步骤

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；[来源:Zxxk.Com] (3)把运算结果“翻译”成几何关系．

4．解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题．

失误与防范

1．注意向量夹角和三角形内角的关系：两者并不等价．

2．注意向量的共线和直线平行的关系．

3．构造向量解题：要根据题目需要灵活构造向量．

A组

专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分) →→→→ABAC→ABAC1→→＋1．

在△ABC中，已知向量AB与AC满足·BC＝0且·＝，则△ABC为→→→→2|AB||AC||AB||AC|(

) A．等边三角形

C．等腰非等边三角形 答案

A →→ABAC→→→＋解析

因为非零向量AB与AC满足·BC＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，→→|AB||AC|所以AB＝AC. →→ABAC1π又cos∠BAC＝·＝，所以∠BAC＝. 3→→2|AB||AC|所以△ABC为等边三角形．

B．直角三角形

D．三边均不相等的三角形

2．

已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是

(

)

πππ2πA．－ B．－ C. D.

6333答案

D 解析

由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，

即4|b|2＋4·2|b|·|b|cos θ＝0，

12π∴cos θ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 23→→→3．

已知P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在(

) A．△ABC的内部 C．AB边所在直线上 答案

B →→→解析

由题意知CB－PB＝λPA，

→→→→→→→即CB＋BP＝λPA，∴CP＝λPA，即CP与PA共线，

∴点P在AC边所在直线上．

→→4．

已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是

(

) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

答案

D →→解析

PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，

→→∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6. 二、填空题(每小题5分，共15分) →→→→5．

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB·AC＝BA·BC＝1，那么c＝________. 答案

2

B．AC边所在直线上

D．BC边所在直线上

→→→→解析

由题意知AB·AC＋BA·BC＝2，

→→→→→→→即AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB) →→＝AB2＝2⇒c＝|AB|＝2.[来源:学|科|网] 6．

已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式→→→→→→0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1，则z＝OQ·OP的最大值为________．

答案

3 →→→解析

OP＝(x，y)，OM＝(1,1)，ON＝(0,1)，

→→→→∴OP·OM＝x＋y，OP·ON＝y，

0≤x＋y≤1，即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识，当x＝0，y＝0≤y≤1

1时，zmax＝3. 15→→7．

已知在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝4________. 答案

150°

→→解析

∵AB·AC<0，∴∠BAC为钝角，

115又S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝. 241∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°. 2三、解答题(共22分) 8．

(10分)已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 证明

建立如图所示的直角坐标系，

设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．

a0，. ∵D是BC的中点，∴D2→→又∵AE＝2EB，

即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，

x－a＝－2x，a2∴解得x＝，y＝a. 33y＝2a－2y，

aa→0，－(a,0)＝－a，，

∵AD＝22a2→→OE＝CE＝3，3a，

a2a→→∴AD·CE＝－a×＋a×

33211＝－a2＋a2＝0. 33→→∴AD⊥CE，即AD⊥CE. 9． (12分)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)．

(1)若x＝π6，求向量a与c的夹角；

(2)当x∈π9π2，8时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．

解

(1)设a与c的夹角为θ，当x＝π6时，

a＝3a·c2，12，cos θ＝|a||c|

3×－1＋1×0＝22＝－332＋122. 2×－12＋022∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. (2)f(x)＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin2x－π4. 又x∈π2，9π8，∴2x－π3π4∈4，2π. ∴当2x－π3ππ4＝4，即x＝2时，

f(x)的最大值为2×22＝1. B组

专项能力提升

(时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分) 1．

平面上O，A，B三点不共线，设OA→＝a，OB→＝b，则△OAB的面积等于

A.|a|2|b|2－a·b2

B.|a|2|b|2＋a·b2

C.1|a|2|b|2－a·b22

D.1|a|2|b|2＋a·b22

答案

C 解析

设∠AOB＝θ，那么cos θ＝a·b|a|·|b|，

则sin θ＝1－cos2θ＝|a|2|b|2－a·b2|a|·|b|，

那么△OAB的面积[来源:学科网ZXXK]

) (

1S＝|a||b|·sin θ

2|a|2|b|2－a·b21＝|a||b|·

2|a|·|b|＝1|a|2|b|2－a·b2. 22.

如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝7，

→→则AO·BC等于

3A. 2C．2 答案

B →→→→→→→→→解析

AO·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB，

1→→→因为OA＝OB，所以AO在AB上的投影为|AB|，

2→→1→→所以AO·AB＝|AB|·|AB|＝2，

2→→1→→9同理AO·AC＝|AC|·|AC|＝，

225→→9故AO·BC＝－2＝. 22π→→3．

已知向量m，n的夹角为，且|m|＝3，|n|＝2，在△ABC中，AB＝m＋n，AC＝m－6→3n，D为BC边的中点，则|AD|等于

(

) C．3

D．4

(

)

5B.

2D．3

A．1 答案

A B．2

→1→→解析

由题意知：|AD|＝|AB＋AC| 21＝|2m－2n|＝|m－n|＝|m－n|2＝1. 2二、填空题(每小题5分，共15分) →→4. 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图

→→所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若OC＝xOA＋→yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．

答案

2

→→解析

依题意，|OC|＝1，则|OC|2＝1，

→→→→→→→又OC＝xOA＋yOB，|OA|＝|OB|＝1，〈OA，OB〉＝120°，

→→→→∴x2·OA2＋y2·OB2＋2xyOA·OB＝1，

因此x2＋y2＋2xycos 120°＝1，xy＝x2＋y2－1. ∴3xy＝(x＋y)2－1≤3∴x＋y的最大值是2. 5． (2012·湖南)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足

→→为P，且AP＝3，则AP·AC＝________. 答案

18 解析

根据向量的加法几何意义及数量积运算律求解．

→→→→→→→→→∵AP·AC＝AP·(AB＋BC)＝AP·AB＋AP·BC

→→→→→→→→→＝AP·AB＋AP·(BD＋DC)＝AP·BD＋2AP·AB，

→→又∵AP⊥BD，∴AP·BD＝0. →→→→→∵AP·AB＝|AP||AB|cos∠BAP＝|AP|2，

→→→∴AP·AC＝2|AP|2＝2×9＝18. →→→→6．

已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|OA＋OB|＝|OA－OB|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．

答案

±2 解析

如图所示，以OA、OB为边作平行四边形OACB，则→→→→→由|OA＋OB|＝|OA－OB|得，平行四边形OACB是矩形，OA→⊥OB.由图像得，直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2. 三、解答题

7．

(13分)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．

解

建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，

设帆船行驶的速度为v，

则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,103)，向量v2＝(20,0)，

x＋y2，(x＋y)2≤4. 2

则帆船的行驶速度

v＝v1＋v2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，

所以|v|＝302＋1032＝203(km/h)．

1033因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，

303所以α＝30°. 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203 km/h.