小结课堂实录及点评

章末优化总结

互斥事件、对立事件的概率及应用

互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而两个对立的事件则必有一个发生，但也不可能同时发生．

所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．

若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．

求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解．

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．

[解] (1)从袋中随机取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的1事件有两个：1和2，1和3，∴取出的球的编号之和不大于4的概率P1＝. 3(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个

- 1 -

球，该球的编号为n，所有(m，n)有16种，而n≥m＋2有1和3，1和4，2和4三种结果，313∴n＜m＋2的概率P2＝1－＝. 1616

利用古典概型求概率

古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．

对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．

甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名教师来自同一学校的概率．

[解] 甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．

(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：

(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．

从中选出的2名教师性别相同的结果为：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．所4以选出的2名教师性别相同的概率为. 9(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．

从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：

(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．

62所以选出的2名教师来自同一学校的概率为＝. 155

利用几何概型求概率

若试验同时具有：①基本事件的无限性；②每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想．

(2015·临沂质检)已知关于x的一元二次方程x－2(a－2)x－b＋16＝0. (1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；

(2)若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求一元二次方程没有实数根的概率．

[解] (1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，方程有两个正实222数根等价于a－2>0，16－b>0，Δ≥0，即a>2，－4

- 2 - 22mnmn

41故所求的概率为P(A)＝＝. 369(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6，0≤b≤4}，设“一元二次方程无实22数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6，0≤b≤4，(a－2)＋b<16}，如图可知构成事件Ω的区域面积为S(Ω)＝16. 14ππ2构成事件B的区域面积为：S(B)＝×π×4＝4π，故所求的概率为P(B)＝＝. 4164

概率与统计的综合问题

统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．

随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．

(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

(2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．

[解] (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm～179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm～179 cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；

158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182(2)x＝

10＝170(cm)．

122222甲班的样本方差s＝[(158－170)＋(162－170)＋(163－170)＋(168－170)＋(168－10170)＋(170－170)＋(171－170)＋(179－170)＋(179－170)＋(182－170)]＝57.2(cm)．

(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181，173)，(181，176)，(181，178)，(181，179)，(179，173)，(179，176)，(179，178)，(178，173)，(178，176)，(176，173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181，176)，(179，176)，(178，176)，(176，173)，

2222222

- 3 -

42∴P(A)＝＝. 105

1．下列说法正确的是(

) A．随机事件的概率总在[0，1]内

B．不可能事件的概率不一定为0 C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对

解析：选C.随机事件的概率总在(0，1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1. 2．甲、乙、丙三人随意坐一排座位，乙正好坐中间的概率为(

)

1A. 21C. 41B.

31D.

6解析：选B.甲、乙、丙三人随意坐有6个基本事件，乙正好坐中间，甲、丙坐左右两侧21有2基本事件，故乙正好坐中间的概率为＝. 633．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是________．

解析：对立事件相对应的集合交集为空集，并集为全集．

答案：两次都不中靶 34．假设一直角三角形的两直角边长都是(0，1)间的随机数，则事件“斜边长小于”的4概率为________．

322解析：设两直角边长分别为x，y，则0≤x≤1，0≤y≤1，斜边长＝x＋y＜，样本空4329π1间为边长为1的正方形区域，而满足条件的事件所在的区域的面积为×π×＝，因此，46449π649π所求事件的概率为P＝＝. 1649π答案：

645．(2014·高考安徽卷节选)某高校共有15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．

- 4 -

(1)应收集多少位女生的样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

4 500解：(1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

15 000(2)由频率分布直方图得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. 6．(2014·高考重庆卷)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；

(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．

解：(1)据直方图知组距＝10，

由(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝1，

1解得a＝＝0.005. 200(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2. 成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3. (3)记成绩落在[50，60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60，70)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个：

(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，

其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个：

(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，

3故所求概率为P＝. 10

[A.基础达标]

1．以下事件是随机事件的是(

)

- 5 -

A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．买彩票中奖 D．水结冰体积变大

解析：选C.A、B、D是必然事件．

2．设A，B为两个事件，且P(A)＝0.3，若P(B)＝0.7，则A与B的关系是(

) A．A与B互斥 B．A与B对立

C．A⊆B D．A不包含B

解析：选D.概率和为1不能判断是否同时发生，故不能选A、B，A发生的可能性小于B，显然D正确．

23．函数f(x)＝x－x－2，x∈[－5，5]，那么任取一点x0，使得f(x0)≤0的概率是(

) A.3 101B.

54D.

522C. 5解析：选A.由f(x0)≤0，即x0－x0－2≤0，得－1≤x0≤2，其区间长度为3，由x∈[－5，35]，区间长度为10，所以所求概率为P＝. 104．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是(

) A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定

解析：选C.由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2 mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2＝0.004. 5005．(2014·高考陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(

) 1A. 53C. 563率为＝.故选C. 10526．袋中有5个白球，n个红球，从中任意取一个球，恰好是红球的概率为，则n＝________．

3解析：由题意，2＝，解得n＝10. 5＋n32B.

54D.

5解析：选C.取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概n答案：10 7．(2014·高考浙江卷)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．

解析：记“两人都中奖”为事件A，

设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以

- 6 -

P(A)＝＝. 1答案：

38．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分，据此，可估计阴影部分的面积是________．

解析：设阴影部分的面积为S，向正方形内随机投掷1个点，落在阴影部分的概率的估计值是1则S＝×36＝9. 4答案：9 9．(2015·常德质检)空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由空气质量指数决定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重：

空气质量指数

空气质量类别

0～35

优

35～75

良

75～115

轻度污染

115～150 中度污染

150～250 重度污染

≥250 严重污染

2001S1＝，则＝，又正方形的面积是36，8004S正方形42163对某市空气质量指数进行一个月(30天)的监测，所得的条形统计图如图所示：

(1)估计该市一个月内空气受到污染的概率(若空气质量指数大于或等于75，则空气受到污染)；

(2)在空气质量类别为“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，若在这6个数据中任取2个数据，求这2个数据所对应的空气质量类别不都是轻度污染的概率．

1242183解：(1)空气受到污染的概率P＝＋＋＝＝. 303030305(2)易知用分层抽样的方法从“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中抽取的个数分别为2，3，1. 设它们的数据依次为a1，a2，b1，b2，b3，c1，则抽取2个数据的所有基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b3，c1)，共15种．

设“这两天的空气质量类别不都是轻度污染”为事件A，则A中的基本事件数为12，

1244所以P(A)＝＝，即这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率为. 155510．设关于x的一元二次方程x＋2ax＋b＝0，若a是从区间[0，4]上任取的一个数，b

- 7 - 22

是从区间[0，3]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

22解：设事件A为“方程x＋2ax＋b＝0有实根”．

2222则Δ＝4a－4b≥0，即a≥b. 又∵a≥0，b≥0，

∴a≥b. 试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤4，0≤b≤3}，而构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}，即如图所示的阴影部分：

123×4－×325所以P(A)＝＝. 4×38[B.能力提升] 1．在等腰Rt△ABC的斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为(

) 1A. 2C.2 2B.D.2

32

4

解析：选C.如图，在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM＜AC)＝长小于AC的长的概率为AC′AC2＝＝，所以AM的ABAB22. 22．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为(

) 1A. 21C. 41B.

32D.

5解析：选A.记2个红球分别为a1，a2，2个白球分别为b1，b2，则基本事件空间为{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)}，共16个基本事件．记事件A＝“取出的两个球同色”＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，81(b2，b1)，(b2，b2)}共8个基本事件．所以P(A)＝＝. 1623．某班派出甲、乙两名同学参加学校举行的数学竞赛，甲、乙两名同学夺得第一名的概31率分别是和，则该班同学夺得第一名的概率为________．

83

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3解析：甲同学夺得第一与乙同学夺得第一是互斥事件，故该班同学夺得第一的概率P＝＋8117＝. 32417答案：

244．(2014·高考江苏卷)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________ . 解析：取两个数的所有情况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种情况．

乘积为6的情况有：(1，6)，(2，3)，共2种情况．

21所求事件的概率为＝. 631答案：

35．(2014·高考福建卷)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为 4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：

行政区

A

B

C

D

E

区人口占城市人口比例

25%

30%

15%

10%

20%

区人均GDP (单位：美元) 8 000 4 000 6 000 3 000 10 000 (1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；

(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．

1解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为(8 000×0.25a＋4 000×0.30a＋6 a000×0.15a＋3 000×0.10a＋10 000×0.20a)＝6 400. 因为6 400∈[4 085，12 616)，

所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．

(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．

设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，

则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)3＝. 106．(选做题)(CB即CitizenBand市民波段的英文缩写)两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：00时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？

- 9 -

解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x≤30，0≤y≤40，则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y)，这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，

他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如图)．

22因此构成该事件的点由满足不等式x＋y≤25的数对组成，此不等式等价于x＋y≤625，图中的长方形区域代表总的基本事件，阴影部分代表所求事件，长方形区域的面积为1 200平方公里，

625π12而事件的面积为π·(25)＝(平方公里)，

4422625π/4625π25π于是有P＝＝＝. 1 2004 800192

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(时间：100分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列事件中，随机事件的个数为(

) ①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；

②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；

③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；

④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．

A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C. 2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(

) A．对立事件 B．互斥但不对立事件

C．不可能事件 D．必然事件

解析：选B.根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．

3．下列试验属于古典概型的有(

) ①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，取出的球为红色的概率；

②在公交车站候车不超过10分钟的概率；

③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；

④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选A.古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A. 4．(2015·济南一中高一检测) 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(

) 1A. 32C. 31B.

23D.

4

- 11 -

解析：选A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有9个，其中这两位同学参加同一31兴趣小组的结果有3个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为＝. 935．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是(

) A.C.1 2251 300B.D.3

8991

45078解析：选C.三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有2，2，3192，共3个，故所求事件的概率为＝. 9003006．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，2则该矩形面积大于20 cm的概率为(

) 1A. 62C. 31B.

34D.

52解析：选C.设|AC|＝x cm，0＜x＜12，则|CB|＝(12－x) cm，要使矩形面积大于20 cm，10－222只要x(12－x)＞20，则x－12x＋20＜0，2＜x＜10，所以所求概率为P＝＝，故选C. 1237．取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率为(

) 1A. 21C. 32B.

31D.

4解析：选C.设事件A＝“剪得两段的长都不小于1米”．把绳子三等分，当剪断位置处在中间一段时，事件A发生．由于中间一段的长度为1米，所以，由几何概型的概率公式得P(A)＝. 8．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为(

) 1A. 6C.1 121B.

9D.1

1813解析：选C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有六种可能性，则(x，y)的情况有22236种，即P点有36种可能，而y＝－x＋4x＝－(x－2)＋4，即(x－2)＋y＝4，易得在抛物31线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为＝. 3612

9．如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分

- 12 -

都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且2击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是(

) πA．1－ 4πC．1－ 8B.π

4aD．与a的取值有关

πa（）224πa2解析：选A.正方形面积为a，空白部分面积为4π＝，所以概率为P＝1－244a2a2π＝1－. 410．在箱子里装有十张纸条，分别写有1到10的十个整数．从箱子中任取一张纸条，记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张纸条，记下它的读数y，则x＋y是10的倍数的概率为(

) 1A. 21C. 51B.

4D.1

10解析：选D.先后两次取纸条时，形成的有序数对有(1，1)，(1，2)，…，(1，10)，…，(10，10)，共100个．∵x＋y是10的倍数，∴这些数对应该是(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，(7，3)，(8，2)，(9，1)，(10，10)，共10个，故x＋y是10的倍数101的概率是P＝＝. 10010二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．(2015·浙江十校联考)袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任9意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的10概率为________．

解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，1共有10种情况，没有得到白球的概率为，设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么，可103知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为. 103答案：

10πx112．在区间[－1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为________．

22

- 13 -

πx12πx1解析：由cos＝，x∈[－1，1]得x＝±，如图所示，使cos的值介于0到之间2232222的点落在[－1，－]和[，1]内，

3312×31∴所求概率P＝＝. 231答案：

313．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．

解析：设OA＝OB＝2R，连接AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，连接CD，OC. 如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形的拱形面积，S阴影112222＝π(2R)－×(2R)＝(π－2)R，S扇＝πR，故所求的概422（π－2）R2率是＝1－. 2πRπ2答案：1－

π14．如图为铺有1～36号地板砖的地面，现将一粒豆子随机地扔到地板上，豆子落在能被2或3整除的地板砖上的概率为________. 1

7

13

19

25

31

2

8

14

20

26

32

3

9

15

21

27

33

4

10

16

22

28

34

5

11

17

23

29

35

6 12 18 24 30 36 解析：因为每块地板砖的面积相等，所以豆子落在每块地板砖上是等可能的，因为能被2整除的有18块，能被3整除的有12块，能被6整除的有6块，所以能被2或3整除的一共242有18＋12－6＝24(块)．故所求概率为＝. 3632答案：

315．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y＝与两直线x＝22及y＝0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组0～1的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND；②做变换，令x＝2a，y＝2b；③产生N个点(x，y)，并统计满足条件y＜的点(x，y)的个数N1，已知某同学用计算器做模拟2试验结果，当N＝1 000时，N1＝332，则据此可估计S的值为________．

x2x2

- 14 -

332S解析：根据题意：满足条件y＜的点(x，y)的概率是，正方形的面积为4，则有＝21 0004332，∴S＝1.328. 1 000答案：1.328 三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分8分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率．

(1)所得的三位数大于400；

(2)所得的三位数是偶数．

解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．

42(1)大于400的三位数的个数为4，∴P＝＝. 63(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，

21∴相应的概率为P＝＝. 6317．(本小题满分8分)设M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率．

解：利用平面直角坐标系列举，如图所示．

x2

由此可知，基本事件总数n＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x＋y是3的倍数的情m1况有m＝15(种)，故所求事件的概率为＝. n318．(本小题满分10分)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶，该靶为正方形板，边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到馅饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客：

(1)赢得一个大馅饼，

(2)赢得一个中馅饼，

(3)赢得一个小馅饼，

(4)没得到馅饼的概率．

解：试验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示．如图表明R和子区域r1、r2、r3和r4，它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件．

- 15 -

r1的面积π（1）2π(1)P(r1)＝＝＝；

2R的面积18324r2的面积π（2）2－π（1）23ππ(2)P(r2)＝＝＝＝；

2R的面积18324108r3的面积π（3）2－π（2）25π(3)P(r3)＝＝＝；

2R的面积18324r4的面积324－π（3）29ππ(4)P(r4)＝＝＝1－＝1－. 2R的面积183243619．(本小题满分12分)已知集合Z＝{(x，y)|x∈[0，2]，y∈[－1，1]}．

(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；

(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．

解：(1)设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[－1，1]，即y＝－1，0，1. 则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，8(2，0)，(2，1)共9个．其中满足“x＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝. 98故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为. 9(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，

∵x∈[0，2]，y∈[－1，1]，则

基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．

∴P(B)＝S阴影S四边形ABCD－×1×12×2－×1×1＝7812S四边形ABCDS四边形ABCD＝122×27＝，故x，8y∈R，x＋y≥0的概率为. 20．(本小题满分12分)2014年全国政协十二届二次会议期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x、y，且x

(1)共有多少个基本事件？并列举出来；

(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．

解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，

- 16 -

(8，9)，共36个．

(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x＋y<17，其中x

模块综合检测

(时间：100分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列描述不能看作算法的是(

) A．解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1 B．从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机

2C．解方程2x＋x－1＝0 22D．利用公式S＝πr计算半径为3的圆的面积时，计算π×3

解析：选C.因为A，B，D三个均有明确的步骤，并且在有限步内能解决问题，而C没有给出解决问题的步骤．

2．要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的(

) A．平均数

B．方差

C．众数 D．频率分布

解析：选D.由样本的频率分布可以估计总体在某一范围内的分布情况，故选D. 3．下列说法正确的是(

) ①互斥事件一定是对立事件；

②球的体积与半径的关系是正相关；

③汽车的重量和百公里耗油量成正相关．

A．①② B．①③

C．②③ D．③

解析：选D.互斥事件不一定是对立事件，①错；②中球的体积与半径是函数关系，不是正相关关系，②错；③正确．

－x，x≤－1，4．(2015·枣庄高一检测)如图所示是计算函数y＝0，－12在①、②、③处应分别填入的是(

)

- 17 -

A．y＝－x，y＝0，y＝x

2B．y＝－x，y＝x，y＝0 2C．y＝0，y＝x，y＝－x

2D．y＝0，y＝－x，y＝x

解析：选B.框图为求分段函数的函数值，当x≤－1时，y＝－x，故①y＝－x，当－1

) ^A.y＝1.23x＋0.08 ^C.y＝1.23x＋4 ^B.y＝1.23x＋5 ^D.y＝0.08x＋1.23 2^^^^解析：选A.设回归直线方程为y＝bx＋a，则b＝1.23，因为回归直线必过样本点的中心，^代入点(4，5)得a＝0.08. ^∴回归直线方程为y＝1.23x＋0.08. 6．如图是甲、乙两市领导干部年龄的茎叶图，则对于这两市领导干部的平均年龄给出的以下说法中正确的是(

)

①A市领导干部年龄的分布主要集中在40～50之间；②B市领导干部年龄的分布大致对称；③A市领导干部的平均年龄比B市领导干部的平均年龄大；④两市领导干部的平均年龄都是50. A．①② B．①③

C．①②③ D．①②③④

解析：选C.由茎叶图易知①②正确．

A市领导干部的平均年龄为

- 18 -

xA＝38＋38＋40＋…＋61≈48.3；

1735＋36＋…＋57＝45.3，

22B市领导干部的平均年龄为

xB＝xA>xB，所以③正确，④错误．

7．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．

若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为(

) A．10 B．20 C．8 D．16 解析：选B.视力在0.9以上的频率为(1＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，故能报A专业的人数为0.4×50＝20. 8．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若它是肉馅包子27的概率为，它不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为(

) 510A．1 C．3 B．2 D．4 7解析：选C.由题意，可知这个包子是肉馅或素馅的概率为，所以它是素馅包子的概率107233为－＝，故素馅包子的个数为10×＝3. 10510109．一组数据的平均数、众数和方差都是2，则这组数可以是(

) A．2，2，3，1 B．2，3，－1，2，4 C．2，2，2，2，2，2 D．2，4，0，2 解析：选D.易得这四组数据的平均数和众数都是2，所以只需计算它们的方差就可以．

第一组数据的方差是0.5；第二组数据的方差是2.8；第三组数据的方差是0；第四组数据的方差是2. 10．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a与b，确定平面上一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为(

) A．3 B．4 C．2和5 D．3和4 解析：选D.点P(a，b)共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)6种情况，得x＋y分别等于2，3，4，3，4，5，所以出现3与4的概率最大，故n的所有可能值为3和4. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)

- 19 -

11．如图所示的程序框图，其运行结果(即输出的S值)是________．

解析：程序框图表示S＝2＋4＋6＋8＋10＝30. 答案：30 12．如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为________．

解析：由题意知试验发生包含的事件对应的图形是一个大正方形，若设大正方形的边长是3，则大正方形的面积是9，满足条件的事件是三个小正方形，面积和是3，

31∴落在图中阴影部分中的概率是＝. 931答案：

313．(2013·高考湖北卷)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则

(1)平均命中环数为________；

(2)命中环数的标准差为________．

1解析：(1) x＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7. 10122222222(2)方差s＝[(7－7)＋(8－7)＋(7－7)＋(9－7)＋(5－7)＋(4－7)＋(9－7)＋(1010－7)＋(7－7)＋(4－7)]＝4. ∴标准差s＝2. 答案：(1)7 (2)2 14．(2015·湖南师大附中联考)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入．某调研小组调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年教育支出y(单位：万元)，调查显^示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，且得到回归方程为：y＝0.15x＋0.2，则家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元．

解析：由题意知0.15(x＋1)＋0.2－0.15x－0.2＝0.15. 答案：0.15 222

- 20 -

15．设a∈[0，10)且a≠1，则函数f(x)＝logax在(0，＋∞)内为增函数且g(x)＝a－2在x(0，＋∞)内也为增函数的概率为________．

解析：由条件知，a的所有可能取值为a∈[0，10)且a≠1，使函数f(x)，g(x)在(0，＋∞)内都为增函数的a的取值为a＞1，a－2＜0，∴1＜a＜2. 2－11由几何概型的概率公式知，P＝＝. 10－0101答案：

10三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分8分)画出下面的程序所描述的一个程序框图．

INPUT x IF x＞0 THEN

PRINT x ELSE

PRINT －x END IF END

解：程序框图如图：

17．(本小题满分8分)检查甲、乙两厂的100瓦灯泡的产品质量，分别抽取20个灯泡，检查结果如下：

瓦数

甲厂个数

乙厂个数

94

0

1

96

3

2

98

6

7

100

8

4

102

2

3

104

0

2

106 1 1 (1)若95～105瓦的灯泡为合格产品，试估计两厂产品的合格率；

(2)问哪个厂的产品质量比较稳定？

解：(1)甲厂产品的合格率为19＝95%，

2018乙厂产品的合格率为＝90%. 20(2)甲厂产品的样本平均数为

- 21 -

x甲＝(96×3＋98×6＋100×8＋102×2＋106)÷20＝99.3. s2甲＝212222[3×(96－99.3)＋6×(98－99.3)＋8×(100－99.3)＋2×(102－99.3)＋(10620－99.3)]＝5.31. x乙＝(94＋2×96＋7×98＋4×100＋3×102＋2×104＋106)÷20＝99.6. 2222s2[(94－99.6)＋2×(96－99.6)＋7×(98－99.6)＋4×(100－99.6)＋3×(102－乙＝12099.6)＋2×(104－99.6)＋(106－99.6)]＝8.64，

2s2甲＜s乙，

所以甲厂的产品质量比较稳定．

18．(本小题满分10分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：

零件的个数x(个)

加工的时间y(h)

2

2.5

3

3

4

4

5 4.5 222(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

^^^(2)求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；

(3)试预测加工10个零件需要多少时间？

解：(1)散点图如图．

4(2)由表中数据得：4i＝1 xiyi

＝52.5，x＝3.5，y＝3.5， xi2＝54. i＝1^^代入公式得b＝0.7，a＝1.05，

^∴y＝0.7x＋1.05. 回归直线如图中所示．

(3)将x＝10代入回归直线方程，

^得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(h)．

- 22 -

∴预测加工10个零件需要8.05 h. 19．(本小题满分12分)(2014·高考北京卷)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

组号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

分组

[0，2)

[2，4)

[4，6)

[6，8)

[8，10)

[10，12)

[12，14)

[14，16)

[16，18)

合计

频数

6 8 17 22 25 12 6 2 2 100

(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

(2)求频率分布直方图中的a，b的值；

(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论) 解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋210＝10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9. 100从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9. (2)课外阅读时间落在组[4，6)的有17人，频率为0.17，

频率0.17所以a＝＝＝0.085. 组距2课外阅读时间落在组[8，10)的有25人，频率为0.25，

频率0.25所以b＝＝＝0.125. 组距2(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．

20．(本小题满分12分)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：

- 23 -

甲部门

4

97

97665332110

98877766555554443332100

6655200

632220

3

4

5

6

7

8

9

10

乙部门

59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345 011456 000 (1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；

(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；

(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．

解：(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75. 50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在25，26位的是66，68，故样本中位数为66＋68＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. 258(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝50500.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16. (3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．

- 24 -