7.公因数和最大公因数教学设计及课堂实录

教学设计方案

学校

课题

公因数和最大公因数

※

教学目标：

1．经历概念形成和规律探究的过程，形成公因数、最大公因数的概念。

2. 通过分类分析，形成互质数概念，并建立对特殊关系的数的敏感度。

※

制定依据：

“公因数、公倍数”单元是继“倍数和因数、能被2、3、5整除的数的特征、素数和合数”后进一步学习的内容，是进一步学习约分和通分以及分数四则计算的重要基础。“能被2、3、5整除的数的特征、素数和合数”

是对“一个数内部特征的研究”，“公因数”和“公倍数”是对“两个数内部关系的研究”，是规律探究课型与概念形成课型的有机融合。“公因数”与“公倍数”有着类同的知识结构（如下表）。

名称

概念

公因数

公有的因数

一一列举

写小找大

公倍数

公有的倍数

一一列举

大数翻倍

一般关系

方法

倍数关系

互质关系

最大公因数

公因数中最大的

列举寻找

较小数

1 最小公倍数

公倍数中最小的

列举寻找

较大数

两数的乘积

学科

教时

数学

第1教时

班级

执教

人数

日期

基于以上认识，为了让学生进一步掌握学习的主动权，“公因数和最大公因数”“教结构”，让学生经历规律探究和概念的形成过程，聚类分析后得出“公因数和最大公因数”的概念；然后通过分类分析，发现求两个数的“最大公因数”的特殊情况，让学生逐步对数与数之间的关系产生一定的敏感，为“公倍数和最小公倍数”提供结构支撑。

★

学生实际：

在前期的学习中，学生掌握了求一个数因数和一个数的倍数的方法，在学习能被2、3和5整除的数的特征以及素数、合数的特征过程中，经历了规律探索学习的基本教学结构，有了一定的学习方法的积累。因此，这部分知识的学习，可以引导学生运用结构进行研究，形成概念。

教

学

过

程

教学环节

常规积累

2.说说一个数的因数有什么特点？

第一层次：观察发现。

1.谈话：前面，我们研究了一个数的因数、一个数的倍数的特点，今天起我们要来研究两个数或几个数之间的因数的特点。

出示例题，问：哪种纸片能将长方形正好铺满？

介绍：6既是18的因数，又是12的因数。

追问：还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？

教师活动

1.说出9、12、15的因数。

学生活动

完成后同桌互相核对。

同桌互说。

学生与同桌交流。

设计意图

回顾旧知，为新知的学习作好准备。

提出问题，顺着学生的思维方向，把学生的思维引向两个数的因数的研究上。

2.揭题:像1,2,3,和6既是12的因数又是18的因数，同桌简单交流

它们就是12和18的公因数。

第二层次：指导方法

理解公因数和最大公因数的意义

1．出示8和12，你能想办法找到它们所有的公有因数吗？

呈现资源：（大黑板）

（1）8的因数：1，2，4，8 12的因数：1，2，3，4,6,12。

（2）8的因数：①，②，④，8 （3）12的因数：①，②，3，④，6,12 打开：有同学想到了一种方法，那你还有没有第二种方法呢？（老师发现很多同学都分别列出4和18的因数，那有没有更简便的方法，只列出一个数的因数，可以吗？）

2．交流：

（1）这三种方法都是怎么想的呢？

学生解读,（第一种方法大部分同学都会，就一带而过，重点放在第二种方法上）第二种方法为什么只有8的因数，12的因数哪去了？（放在脑子中，哦，1,2，4是12的因数，8不是12的因数。）第三种方法请学生简单说一说。

你更喜欢那种方法？为什么？仔细观察你觉得这三种方法写完整了吗？

3. 小结：刚才我们找到了8和12的公因数，都想到了哪些办法？

第三层次：找公因数的特点

1．

两个数的公因数有什么特点呢?我们可以从哪些方面进行研究？

学生观察黑板上的两个例子，然后互相说一说特点。

设疑：仅从这两个例子就能说明两个数的公因数的个数是有限的？（板书“猜想”？）需要怎样？（举30以外的数请同学们课后再来找找？老师给大家提供了一张2号练习纸：（出示），如果你需要一些“列举”

或“写小找大”的过程，可以写在上面空白的地方。

过程中打开：

（1）之前，我们举例要有代表性，需要思考一般情况和特殊情况，这里有没有特殊情况呢？

（2）有的同学没有用列举的方法也能找到两个数最大的因数，这是不是特殊情况呢？想一想除

学生独立做。

可能：

（1）一一列举

（2）写小找大

（3）写大找小

同桌交流后请生介绍。

同桌讨论。

经历4和18的公有的因数的寻找，指导具体的做法，为后面好方法铺垫。

从有限的例子中提出猜想，再通过大量的举例来验证猜想，并有意识注意数的范围，最后归纳出结论，这一环节旨在让学生经历完整预设：18的因数比较多。

的独立寻找作

预设：最大公因数，最小公因数，公因数的个数

学生明确活动要求，并进行举例验证。

明确：0不做考虑。

补充：公因数找到了还要记得写下结论。（补充进去）

例验证）由于课上时间有限，我们就写30以内的数，

了现在的情况还有其他情况存在吗？

（3）有的同学想到的都是特殊情况的例子，那有没有一般的情况呢？

第四层次：归纳结论

同学们举了很多的例子，有没有反例，说明这个猜想怎样？（成立）

小结：

我们发现两个数的公因数个数是有限的，其中最小的都是1，最大的各不相同，最大的公因数我们就叫做最大公因数。可以用一种简洁的方式来表示两个数的最大公因数（8，12）=4. 落实：（你也从你的例子中挑几个来学学这种表示方法。）

1.分类：在研究一个数因数特点的时候我们能最大我们发现两个数最大公因数各不相同，这里是没有什么规律呢？老师从同学们的例子中选出一些，让我们来仔细观察一下，能不能根据最大公因数，把它们来分分类呢？（贴）

2.呈现资源，交流：

研究两个数的最大公因数

（1）看到同学们基本上都是这样分的，说说是怎么分的？

（2）先来看最大公因数不是1的，再来看看原来的两个数，能不能再根据这两个数的关系分分类？

（板书结论：两数成倍数关系，最大公因数是较小数。）

3.再分类：剩下的最大公因数都是1，看样子情况比较复杂，我们能不能再来把它们分分类呢？或许可以帮助我们对这些情况有更清晰的了解。

4.交流：

（1）加工中清晰分类。

（2）追问：为什么这四种情况它们的最大公因数就一定是1呢？

（3）介绍：如果两个数的最大公因数是1，这两个数就叫互素数，那么这两个数的关系就叫互素关系。

（4）快速反应：分析关系，求最大公因数。（同桌合作）

学生举了一些例子后，同桌互相检查批改。

找3-4个学生作业简单交流。

发现没有。

的不完全归纳过程，认识概念，掌握解决问题的一般方法结构。

学生进行一级分类，写序是1和不是1 同桌讨论。

倍数关系、非倍数关系

学生进行二级分类。可能全或不全：（加工）

1．1和任何自然数；

2．两个连续的自然数；

3．1个素数。（3,4也可整合成一素，两数无倍数）

4．两个素数

同桌说说。

因数和最小因数进行了研究，通过刚才的举例验证，号。可能:

通过分类分析找到两个数之间的特殊关系（倍数关系、互质关系），帮助学生逐渐形成对数的敏感。

（板书结论：两数成互素关系，最大公因数是1。）

前两个集体交流，后面的

1．总结：今天我们通过对两个数公有的因数的研究，同桌讨论。

发现两个数都有公因数，而且能找到最大的公因数。在研究最大公因数的时候发现两个数之间存在特殊总结拓展

两数成互质关系，最大公因数是1。是不是只有两个数能找到公因数呢？三个数是不是也有公因数和最大公因数呢？三个数之间是不是也存在着特殊情况呢？两个数公有的因数的情况进行了研究，那还可以对两个数公有的倍数进行研究。

横向与纵向的拓展，为学生的后续学习提供结构支撑。

情况。如果两数成倍数关系，最大公因数是较小数，