比例的基本性质优质课教案设计

一、巧设冲突,嫁接支点

1、回顾旧知

师:上节课我们学习了比例的意义,什么是比例呢?(板书:比例)怎样判断两个比能否组成比例?

看这两个比的比值是否相等。

2、(课件出示)判断,下列各组比能否组成比例,把组成的比例写下来。

6 : 3 和 8 : 5

0.25 : 和 : 4

2.4 : 1.6 和 60 : 40

生汇报判断结果

师:你觉得哪组比较容易看出来,哪组不容易看出来?

生:第一组很容易看出比值不相等,第2组的比值比较难算,不容易看出来。

师:和他有同感的举手?

师:恰恰相反,老师觉得第2组很容易看出来。老师用的什么方法呢?原来,在比例里还有个小秘密等着同学们去发现。

生:老师,你能告诉我们这个秘密吗?

【设计意图:复习导入环节,设疑激趣特别重要。教材是“让学生”计算两个外项的积和两个内项的积,并追问“比较一下,你能发现什么?”个人认为这样的材料呈现方式给老师提供了再创造的空间:让学生计算了两个外项积和两个内项积,再让学生谈发现,缺乏真正自主探究的挑战性,不能激发学生的思考欲望,没有给学生观察、思考、猜想的空间。这时候其实学生已经无需探究了,探究价值会大打折扣。因此我大胆放手,没有引导学生去计算比例的外项积和内项积,而是在复习题中有意设计了一道比值特别难计算的判断题,相反,如果应用比例的基本性质计算外项积和内项积却很容易,当然,这时候学生不知道这个办法,感觉计算比较复杂,判断起来不如另外两道题容易,为后面设疑埋下了伏笔。老师及时创设冲突:“老师认为这道题很容易判断,老师应用了另外的的办法,这个小秘密要同学们自己探究。”学生的探究欲望被激发起来了。】

二、合作探究,建构模型

1、认识比例各部分的名称,渗透对应思想

师:比例里的小秘密要靠同学们自己去探究。不过,老师可以告诉你们组成比例的四个数的名称。以刚才写的第3个比例为例。(课件出示)

2.4 : 1.6 = 60 : 40

内项

外项

组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。

(课件)如果把上面的比例写成分数形式: =

谁是外项,谁是内项呢?

生:2.4和40依然是外项,1.6和60依然是内项。

师:这里还有一个比例: = (板书)

谁是外项,谁是内项?

2、自主探究,发现规律

师:说的很好,我们弄清楚了比例的外项和内项,比例的外项和内项之间到底有什么关系呢?请同学们尽情的去探究吧。(课件出示:)

温馨提示: 1、仔细观察,冷静思考。

2、大胆假设,小心验证。

3、小组交流,得出结论。

生自主探究,师巡回指导。

师:不少同学已经发现了其中的规律,把你的发现和同学们交流一下。

生讨论。

3、汇报交流,初步感悟

每个小组推选一名代表上台汇报探究过程和得出的结论。

(实物投影,出示学生探究过程、结果)

生1:一开始,我用2.4 : 1.6 = 60 : 40这个比例来研究,我没有看出来,于是我又写了一个简单的比例,6:3=2:1,我一眼就看出了它们的关系:比例的两个外项的乘积是6,两个内项的积也是6。

师:化繁为简,办法真好。掌声鼓励。

你发现的规律是?

生:比例的两个外项的乘积和两个内项的乘积相等。

师:你还有什么发现吗?

生:我还发现,除了两个外项的积等于两个内项的积之外,还有一个规律,两个内项交换位置,两边依然成比例。3和2交换,6:2和3:1的比值都是3。同样两个外项交换位置,两边也依然成比例。

师:同意吗?(同意。)你真是个爱钻研的好学生。

谁来再说一说你的发现?

生2:我也写了一个简单的比例:3:2=6:4,我也发现了比例的两个外项的积等于两个内项的积,我还分别计算了两个内项和两个外项的和、差、商。两个内项的和是8,两个外项的和是7,不相等。两个内项的差是4,两个外项的差是1,也不相等。两个内项的比的比值是,两个外项的比的比值是,也不相等。所以我的结论也是比例的两个外项积等于两个内项积。

师:他考虑的多么全面,思维多么严密。掌声鼓励。谁还有要补充的?

生3:我用自己写的比例,发现的规律也是“比例的两个外项的积和两个内项的积相等。”我用黑板上写的比例进行了验证。2.4×40=96,1.6×60=96,也符合这个规律。

【设计意图:这里老师不提示,放手让学生自己探索,学生仔细观察,冷静思考,大胆猜测,再通过小组合作讨论学习,让学生经历“猜想——验证——归纳”的知识探究过程,能激发学生的探究欲望,让学生掌握学习的方法,提高学习能力,培养了学生创新思维和问题意识。】

4、验证,深入体验

(1)集体验证

师:太棒了,他还进行了验证。你验证了吗?我们一起用这个比例验证一下。(板书完,嗯,的确相等。)

= 这种分数形式的比例也符合这个规律吗?请同学们算一算它的外项积和内项积。(板书:3×15=45,5×9=45)

师:这种形式数学上叫做:交叉相乘。

(2)小组验证

师:你用别人写的的比例验证了吗?(没有)让我们共同验证。组长先写出两个比值是5的比组成的比例,其他同学再分别算出外项的积和內项的积,看他们是否相等。

【设计意图:学生自己提出了举例验证的方法,有了问题后,积极思考解决问题的方法。举例验证、合作交流的过程也恰恰就是演绎推理的过程,学生在探究与交流中不断感受“在比例里,两个外项的积等于两个内项的积”。】

5、归纳、完善结论

(1)反例验证

师:你们通过探究发现了“比例的两个外项的积等于两个内项的积”,通过反复验证,其他比例也符合这个规律。(板书:两个外项的积等于两个内项的积)。

师:是不是所有的比例都符合这个规律呢?老师这里也有一个比例3:5=4:6,为什么两个外项的积不等于两个內项的积?

生:因为这根本就不是一组比例,所以没有这个规律。(课件:变化

为3:5≠4:6 )

师:这个例子能否定你们的结论吗?

生:不能否定我们的结论,恰恰相反,这个例子从反面证明了我们的结论是正确的。如果两个外项的积不等于两个內项的积,那说明这两个比一定不成比例。

师:那么,也就是说我们刚才说的规律要有一个大前提“在比例中(板书补充完整:在比例中)”。谁能完整的说一遍?

师:其实我们的发现与数学家不谋而合,他们给它起了个名字,叫做比例的基本性质。齐读。(补充完整下面的板书:这叫做比例的基本性质。)

(2)用字母表示规律

师:如果用字母表示比例的四个项,即a:b=c:d,你能用字母表示比例的基本性质吗?

生汇报: ad=bc或bc=ad (b≠0 d≠0)

如果比例写成分数形式用字母如何表示? = ad=bc或bc=ad(b≠0 d≠0)

师:这就是本节课要研究的主要内容(板书课题:比例的基本性质)

【设计意图:借助反例,使学生的猜测更加合理,同时对知识进行进一步完善,也使学生知道了如何用比例的基本性质来判断两个比能否组成比例。从归纳完善到用字母表示的过程也正是构建数学模型的过程,如果a:b=c:d,那么ad=bc, b≠0 d≠0,既渗透了模型的思想,同时也渗透了符号意识,拓展了学生思维的宽度和厚度。】

6、回顾梳理,积累经验

师:回忆一下我们是怎样来研究比例的基本性质的?

生:老师告诉我们比例里一个小秘密,我们就对比例进行研究,经过观察,发现了两个外项的积等于两个內项的积。我们猜想,是不是所有比例都有这个规律呢?我们举例又进行了验证。最后总结出来了结论。

师:观察思考——猜测验证——归纳完善,是学习数学的好方法。以后我们再遇到新的知识也可以运用这个方法去研究。

【设计意图:回忆比例基本性质的研究过程也就是让学生进行“回头看”的过程,在这节课上,学生不仅学会了知识,更学会了运旧知识、研究新问题的方法,授之以渔。】

三、学以致用,升华认识

1、应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例

师:我们再回头看看刚上课时感觉很难判断的那道题,现在运用比例的基本性质判断一下:

(课件出示)0.25 : 和 : 4

生:外项积和内项积都是1,可以组成比例。

师:你有什么想法吗?

生:判断两个比是否可以组成比例,用比例的基本性质判断比用求比值的方法简单。

师:你喜欢用哪个方法?

生:我喜欢用比例的基本性质判断。

师:用你喜欢的方法判断下面哪组中的两个比可以组成比例。

0.2 : 2.5 和4 : 50

: 和:

1.2 : 和: 0.5

: 和0.7:0.35

师:判断两个比能不能组成比例,求比值和比例的基本性质,哪个方法好?为什么?

生1:用比例的基本性质判断方法好。

生2:不一定,有的题目用求比值的方法反而简单,例如第四道题,能很容易看出两个比值相等,都是2,但是他们的外项积和内项积算起来非常麻烦。

师:你的观点是?

生2:根据题目特点,灵活选择方法。

师:太棒了,遇到问题,我们一定要根据实际情况,具体问题具体分析啊。

【设计意图:学生已经体会到了“用比例的基本性质判断两个比能否组成比例”优越性,老师故意设计了一个反例(最后一题)。使学生体会到,做题之前先思考,选择适合的方法完成练习,以培养学生的方法优化意识。】

2、填数,组比例。

老师这里也有一个比例“24∶□=□∶2”,但是它的两个内向被盖住了,你能猜一猜这两个内项可能是什么吗?

还有不同答案吗?只能是整数吗?谁能举出是分数或小数的的例子?这样的例子举得完吗?

生:举不完,这两个数的乘积只要是48,都可以。

3、解决问题

李叔叔承包了两块水稻田,面积分别是0.5公顷和0.8公顷。秋收时,两块水稻田的产量分别为3.75吨和6吨。

(1)两块水稻田的产量与面积之比,是否可以组成比例?

(2)如果可以组成比例,指出比例的内项和外项。

4、根据乘法等式写比例

如果知道两个外项的积和两个內项的积,你会写比例吗?

根据“24×3=8×9”写出比例,你能写几个?请在练习本上写一写。(投影展示)

追问:你是怎么写出八个的?(按照一定的顺序进行思考)

小结:根据这个乘法等式,最多就可以写出8个比例,在写的时候我们要按照一定的顺序进行思考,这样才能不重复、不遗漏。

5、如果a×2=b×3,则a: b = () : ()

6、猜猜我是谁? 24:()=5: 4

延伸:如果把“()”改为“x”就是我们下节课要学习的知识:解比例。

【设计意图:练习的设计层层深入,“一式八例”更让学生明白我们思考问题时应该有序,这样才能不重复、不遗漏。猜猜我是谁的练习不仅让学生运用今天所学知识解决了问题,更为下节课解比例的学习做了铺垫,让学生带着问题下课。这样的练习做设计不仅让学生体验解决问题方法的多样性和优化策略,更感受“一一对应”和“变与不变”的数学思想。】

四、分享收获,畅谈感想

这节课,我们学习了什么?我们是怎样探究比例的基本性质的?

【设计意图:学生在谈收获的过程实际也是将新知识进行内化和提升的过程。】

五、布置作业,巩固提高

作业:第43页练习八,第2题、

第5题、第6题。

板书

比例的基本性质

2.4:1.6 = 60:40 =

2.4×40=96 3×15=45

1.6×60=96 5×9=45

在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。