原（逆）命题、原（逆）定理名师教学设计2

18．2 勾股定理的逆定理（三）

1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

教学目标

知识与技能

过程与方法

情感态度与价值观

2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。使学生能归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律。

培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值

重点

难点

灵活应用勾股定理及逆定理解综合题目

灵活应用勾股定理及逆定理解解综合题目

教

学

过

程

教学设计 与 师生互动

第一步：课堂引入

勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。

备 注

第二步：应用举例：

例1已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

分析：利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例2已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

DA求：四边形ABCD的面积。

分析：使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。

BCE⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

C例3已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，2且CD=AD·BD。

求证：△ABC是直角三角形。

分析：勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。

∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 ∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD·BD+BD2 =（AD+BD）2=AB2

BDA

第三步：课堂练习

1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（

）

A．等腰三角形；

B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形；

D．等腰直角三角形。

2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：△ABC的形状。

3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=且AB⊥BC。

求：四边形ABCD的面积。

4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD。

求证：△ABC中是直角三角形。

2，试判断AD34，CD=13，AD=3，4BC参考答案：

1．C；

2．△ABC是等腰直角三角形；

3．94

4．提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2= AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°。

第四步：课后练习：

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。

2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。

求证：△ABC是等腰三角形。

3．已知：如图，∠DAC=∠EAC，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。

求证：AB2=AE2+CE2。

4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=试判定△ABC的形状。

参考答案：

1．6；

2．提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC。

3．提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2。

4．提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14。又因为c2=14，所以a2+b2=c2 。

EA14，BDC小结与反思：