2.1多边形的概念及内角和教学内容分析

多边形

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【教学目标】

（一）知识与技能：

经历探索多边形的内角和公式的过程；会应用公式解决问题，培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力。

（二）过程与方法：

经历探索多边形的内角和公式的过程。进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系，探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

（三）情感态度与价值观：

1．经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯；

2．培养学生勇于实践、大胆创新的精神，使学生认识到数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点。

【教学重难点】

1．重点：经历探索多边形的内角和公式的过程。

2．难点：推导多边形的内角和公式，灵活运用公式解决简单的实际问题。

【教学过程】

一、复习提问

（一）什么叫三角形？

（二）三角形的内角和是多少？

（三）什么叫三角形的外角？什么叫外角和？三角形的外角和是多少？

二、探究发现，认识新知

（一）多边形的概念：

三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但习惯称三角形）。我们

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知道：在平面内，不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。

1．你能说出什么叫四边形、五边形吗？

如图（1）它是由平面内不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的图形，记为四边形ABCD．（按顺时针或逆时针方向书写）

如图（2）是由平面内不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的图形，记为五边形ABCDE。

一般地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，连结不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。

2．与三角形类似如图（3），∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n个内角，有2n个外角。

3．如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图，线段AC是四边形ABCD的对角线，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。

B A D C A B C E D 图（1）

图（2）

问：

8.3.3 （1）四边形有几条对角线？（两条AC、BD）

（2）五边形有几条对角线？

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以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以月为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。

（3）六边形有几条对角线？n边形呢？（六边形有9条对角线。）

从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引（n-3）条，（除本身这个点以及和这点相邻的两点外），那么n个顶点，就有n（n-3）条，但其中每一条都重复计算一次，如ABn(n3)与BA，所以n边形一共有条对角线。

2大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；当n=5时，有5条；当n=6时，有9条。

（二）多边形的内角和公式：

1．三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢？让我们先从四边形，五边形，六边形……开始。

从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。

2．让学生填写下表由此，你可以得到多边形的内角和公式吗？

边数

3 4 5 6 …

12 …

n 图形名称

…

…

对角线条数

0 1

…

…

划分成的三角形个数

多边形的内角和

1 2

…

…

1×180°

2×180°

…

…

n边形的内角和=（n-2）·180°知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。

3．例题：

（1）一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数。

（2）一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形？

分析：正多边形的每个内角都相等。

学生计算，口头回答。

（1）11

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（2）12 三、巩固练习

课本后面练习。

四、课堂小结

本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为（n-2）·180°，它揭示了多边形内角和与边数之间的关系。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。

【第二课时】

【教学目标】

（一）知识与技能：

1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角；

2．掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题。

（二）过程与方法：

1．经历探索多边形的外角和公式的过程。进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系；

2．探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

（三）情感态度与价值观：经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯，通过对内角、外交之间的关系，体会知识之间的内在联系。

【教学重难点】

多边形的外角和公式及其应用。

【教学过程】

（一）创设情景、导入新课：

1．小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步。

（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们。

（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

（3）在下图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？

2．下面大家来看小亮的思考：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ，其中：∠α=∠1、∠β=∠2、∠γ=∠3、∠δ=∠4、∠θ=∠5。

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（1）大家看图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？

（2）它们的和叫什么呢？（这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和。）我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和。

（二）合作交流、解读探究：

1．那什么是多边形的外角、外角和呢？我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角。另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。

2．一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角。那多边形的外角和是多少呢？我们来回忆一下：三角形的外角和为多少？（360°）

刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，想一想：如果广场的形状是六边形、八边形。它们的外角和也等于360°吗？（六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°）

3．那么能不能由此得出：多边形的外角和都等于360°呢？能得证吗？

因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为（n－2）·180°，因此，外角和为：n·180°－（n－2）·180°=360°。

性质：多边形的外角和都等于360°

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由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°。下面想一想：利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？（因为对于n（n是大于或等于3的整数）边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角。因此，n边形的内角和与外角和的和为n·180°，所以，n边形的内角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=（n－2）·180°。

指出：四边形具有不稳定性。

（三）应用迁移、巩固提高：

1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？

分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用。根据题意，可列方程解答。

解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180°，外角和等于360°，所以：

（n－2）·180°=5×360°

解得：n=12 这个多边形是十二边形。

2．是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的？为什么？

解：不存在，理由是：

如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是：×α=180°－α，解得α=150°。

这个多边形的边数为：360°÷150°=2．4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形。

3．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？

解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角。理由是：

设四边形的四个内角的度数分别为：α°、β°、γ°、δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°。

α+β+γ+δ＞360°。

同理最多能有三个小于90°。

（四）课时小结：

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本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式。知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便。

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