复习参考题教学教案设计

课

题：

《一类向量问题的解法》教学设计

湖州一中

倪晓熠

教学目的：

掌握一类以向量为背景的二元代数式最值问题

教学重点：

掌握平方思想、坐标思想、等高线的方法解决问题

教学难点：

等高线方法的理解与掌握

教学过程：21世纪教育网

一、引入

最近，我们在复习向量。向量有很多解题思想：有基底思想、几何思想、坐标思想、投影思想、平方思想等等。今天我们来解决一个向量问题，看看同学们有哪些解题方案。

例：给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若OCxOAyOB(x,yR)，求x+y的最大值.

二、新课讲解

1.

分析问题

A O B 首先，分析题目条件，OA=OB=1，OA，OB120,C 为动点，

OCxOAyOB(x,yR)，求（x+y）max

. 关键：式子处理与图形运用.

2.

解决问题

（1）平方思想

OCxOAyOB2xyOAOB，即x2+y2-xy=1. 22222A M C 根据所求构造，（x+y)2-3xy=1,由xy≤(xy2)，

2O B 3得到（x+y)2-1=3xy≤(xy)2

42故（x+y)≤4，下面检验“=”是否成立. ）2xOM,即x=1时取等号，故（x+y）max 当且仅当x=y，即OCx（OAOB=2 （2）坐标思想

解法一：

13,2如图建系，B(1,0), A(22), C(cosθ,sinθ), 0≤θ≤3,

13x3y(1,0)(y,OCxOAyOBx,x)

2222则cosx3y，sinx22

2xsin3即

1ycossin3A C 故xy3sincos2sin()

6因为6当656，所以1≤x+y≤2 O θ

B 3时，（x+y）max =2

解法二：

a2b211设C(a,b)，满足a120b1，

2xxbay23即故xya3b由OCxOAyOB可得13

byabx32此时本题转化为一个线性规划问题：

a2b211a1求za3b的最大值

20b1

（3）介绍“等高线”

<平面向量共线的一个黄金推论>直线AB定为基底OA，OB下的“基准线”。与AB平行的线定为“等高线”。A1B1上任意一点P1满足OP11OA1OB,且11为定值，若A1B1kAB,则11k

证明：

由相似，kA1B1ABOA1OAOB1OB，则OA1kOA

，

OB1kOB

11故OP11OA1OB

kk因为P1,A1,B1共线，所以111，即11k(等高线远离O点时，k>1) kk同理，若A2B2tAB，A1B1上任意一点P2满足OP22OA2OB则22t

(等高线远离O点时，0

O B OCOMA C =2

M 三、课堂练习

练习1：（2017全国卷3#12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABAD，则的取值范围_______________________

练习2：(2017·宁波市余姚中学高三期中)已知向量OA，OB的夹角为60°，|OA|＝2，→→→→|＝23，OP→＝λOA→＋μOB→.若λ＋3μ＝2，则|OP→|的最小值是________

|OB

四、课堂小结

1、向量问题的解题思想：基底思想、几何思想、坐标思想、投影思想、平方思想

2、等高线——向量共线的黄金推论