复习参考题教学目标设计

变换观下的知识整合—从正弦型函数yAsin(x)b的最值问题切入

泉州六中 谢晓霞

【复习目标】

1．通过复习，深刻理解正、余弦函数的有界性和单调性在求解简单三角函数的最值和值域问题中的重要作用，体会数学的形式化与模型思想在解决问题中的作用。熟练应用正、余弦函数的有界性和单调性等知识求解简单三角函数的最值和值域；

2．引导学生运用转化思想，通过变形、换元等方法洞察几种简单三角函数的内在联系，体悟三角函数最值和值域求解问题由浅入深的变化过程，增强解题信心。 [教学重点] 引导学生运用转化思想，通过变形、换元等方法洞察几种简单三角函数的内在联系，体悟三角函数最值和值域求解问题由浅入深的变化过程. [教学难点] 数学的形式化、数学思想在解决问题中的应用。

[教学方法]数学结构教学法、指导探究法

【教学过程设计】

一、展示学生解答“课前思考题”时所设计的题型。

[师]：上节课布置了一道课前思考题：同学们已经知道函数ysinx定义在R上的最值与值域，以及取得最大值时x的值，对于考查函数ysinx最值与值域的应用，你能设计怎样的题型？凭借以往的学习积累，试着写出题目及它的求解过程。我收集了部分同学的作业，我们一起来看看她们设计的题型：（图片展示）

【师】：同学们编拟的这些题目形式各异，重彩纷呈。有由单一的三角函数组成，也有由两个不同的三角函数组成，其中有一次的，也有二次的，定义域有整个数域，也有局部的。求解方式有值域问题，也有最值问题，有零点问题。大家想一想，这些所给的函数，他们与基本初等三角函数ysinx之间存在着怎样的联系，我们能否利用数学思想将他们进行整合，使之连成一个知识结构图。这就是我们今天要学习的内容--变换观下的知识整合,从正弦型函数yAsin(x)b的最值问题切入.用变换的思想将这些题进行整合，使知识连成网。

【师】先从同学们编写的题1入手。看看同学们的求解方法。

（展示学生的解法）

预设：

方法一（式子变形）：将

变形

，这时，由三角函数的有界性

得解，即

，值域的问题就转化为不等式的问题，解不等式得

。

方法二：看成一次函数ykxb的复合函数(其中x为正弦或余弦函数,k,b为常数), 利用ykxb的单调性，由三角函数的有界性

，对其进行不等式的变形，就可得解

。

方法三：利用函数图像变换。函数ysinx横坐标不变，纵坐标伸长成原来的

倍，再上移1个单位，即得

。

思考问题1：从变换的角度看看题1的解析式与ysinx间的联系。想一想通过怎样的途径，可以将

变换成

？

从方法一的解答中，我们可以看出从

到

是将y变换成（体悟

的编制过程即y变换成

）

【师】下面，我们继续看同学们对题2：“求函数y=sin（2x﹣）取得最大值时x的值？的解答？

解决问题时，是把2x﹣

看成一个整体，与初等函数式中x对应，这里的x是广义上的，这就是我们所说的整体思想。因而函数y=sin（2x﹣）取得最大值也就是

取到最大值

1，此时

,那就是2x﹣看成整体，2x﹣

，这时求x的值

就转化成解方程的根的问题了，即即x

思考问题2：从变换的角度看看题2的解析式与

的关系。想一想通过怎样的途径，可以将

变换成y=sin（2x﹣

）

类比例1的方法一（式子变形），从

到y=sin（2x﹣）的变换，是将x换成2x﹣，

也就是我们说的换元思想。 思考问题3：综合题1和题2中解析式的获得方法,你们还可整合变换出什么新的解析式及相应的题目？

由题1题2的思路，大家很快得到解析式f(x)数f(x)2sin(2x4)1；及相应题目3：求函2sin(2x4)1的最大值及其取得最大值时x的值？

从前面的学习中，一方面，我们了解了一些三角函数题的编题过程，另一方面，我们要找到了这些三角函数题一般化后的常规解法。即

求正弦型函数yAsin(x)b的值域、取最值时X的取值的方法：

方法一：应用整体换元的思想，将x换元成x，y换元成yb。由1sinx1，A得AbyAb。此时yAsin(x)b取得最值时x的值，即x=2k2,kZ，这时求x的值就转化成解方程的根的问题了。

方法二：看成一次函数ykxb的复合函数(其中x为正弦或余弦函数,k,b为常数), 利用ykxb的单调性，由三角函数的有界性1sinx1得解。

方法三：图像法

【师】前面我们通过对基本初等三角函数ysinx中的自变量X和因变量Y进行变换得到题1、题2、题3等，大家继续观察同学们所编的其它题型的解析式，看这些解析式与yAsin(x)b是否有联系，能通过什么途径互化得到。看看能通过怎样的变换回归到yAsin(x)b形式，我们就可以解决问题了。

例如，大家观察题3的解析式与学生的所出题目中的解析式f(x)sin2xcos2x1的结构，想一想应对f(x)2sin(2x4)1进行怎样的变形，就可得到f(x)sin2xcos2x1

？生: 恒等变形

师：你们也来一起试试？

引导学生利用和差、倍角、向量等公式对f(x)2sin(2x4)1进行恒等变形，得到不同的函数解析式，就可设计出多样性题目。（如学生所设计的题

）反之f(x)sin2xcos2x1通过三角函数的和差公式的逆向应用，就可得到f(x)2sin(2x4)1，使学生所设计的题得到解决。

在变式过程体验公式的正逆运算的作用，让学生体验的出题方式和解决问题的方法。

从这，我们了解了三角函数题由浅入深的的编拟过程的同时，我们要找到了这些三角函数题一般化后的常规解法。即

1、形如yasinxbcosxc的函数,可设sinb22,cosa22,逆用和角公abab式得到ya2b2sinxc,化为正弦型函数yAsin(x)b。

2、形如yasinxbsinxcosxccosxd的函数可先逆用倍角公式化归为1的形式再求解.

3、形如yasinxbcos(x)或yasinxcos(x)的的函数（式中也可以是同名函数），

可先用和角公式展开，化归为1的形式再求解. 4、前面的函数形式都结合了三角函数的和差、倍角、向量等恒等变换，我们首先将这些函数化为“三个一”yAsin(x)b的形式，即一个角的一种函数名称的一次形式，然后化归到yAsin(x)b类型解决问题。

【高考真题展示】引导学生观题，回归刚才的出题意图（课后作业）

1、（2014年高考真题文科数学（新课标II）函数f(x)sin(x)2sincosx的最大值为

2、（2013年高考真题文科数学（新课标II）

）

当x时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值时，cos=_________. 3、（2017年高考真题——文科数学（全国Ⅲ卷））

函数f(x)=221sin(x+)+cos(x−)的最大值为（ ）

3654、（2017年高考真题——（全国II卷））函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为 . 导语：前面我们思考的问题是函数解析式的变化对其值域的影响，影响函数值域还有什么呢？是的，还有定义域，现在我们继续修改条件，将修改条件放在定义域上，即将定义在R上的

限制成定义在,上的。 设计5：对设计1、3进行变式

（1）函数ysinx,x[,（2）函数f(x)2]的值域为（ ）

632sin(2x4)1在区间0,上的最小值是

2

思考：定义域的局限将如何影响到值域？

学生回答：由于三角函数是周期函数，不是单调函数，所以要结合图像观察函数的最值，不能直接用定义域的端点直接求最值。对于正弦型yAsin(x)b，定义域,是x的范围，解题中我们将x看成一个整体X，所以我们由x,得到x，再求解。

推广（一般结论）：定义在,上的正弦型yAsin(x)b最值问题的解法：

将x看成一个整体X，由x,得到x，依照图像得到函数最值。

【高考真题展示】（课后作业）

5、2014年高考真题文科数学（北京卷）

已知函数fx3sin2x6的，求fx在区间,上的最大值和最小值. 2126、已知函数f(x)4cosxsin(x)1，求f(x)在区间,上的最大值和最小值. 664【思考】正弦型函数yAsin(x)b的最值问题还会以什么样的形式出现呢？看到同学整理的题型里有比如恒成立问题，比如零点问题？

类型三，正弦型函数yAsin(x)b的最值的应用

如、（2017年高考真题——数学（文）（北京卷）

f(x)3cos(2x-知函数3)2sinxcosx.（II）求证：当x[1,]fx44时，2．

设计6；将2014年高考真题文科数学（北京卷）进行修改：

已知

函数fx3sin2x实数k的取值范围。

6，若函数yf(x)k在区间,上有零点，求212

零点问题里渗透了函数与方程的思想，数形结合的思想。

【考题展示】（课后作业）

8、已知向量

m(3sinxxx记 f(x)mn，

将函数

yf(x),1),n(cos,cos2)，444的图象向右平移

27个单位得到

yg(x)的图象，若函数

yg(x)k在

0,上有33零点，求实数k的取值范围

9、已知函数f(x)Asin(x)B(A0，0，

632

54

63

4

11

62

7

3

2)的一系列对应值如下表： x

y

17

64

（Ⅰ）根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式；

（2）若当x[0，]时，方程f(x)m1恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

6当然，我们实际应用题里也有很多最值问题，题中就有三角的结合点。

10、

某家具生产厂需要在一个半径为1的圆形木料中依照图纸方式切割出如右十字图形，其中AEF(为变量），ABHGx,AF(1)

用表示x,y，并求出的取值范围；

(2)

将阴影部分的面积S表示为的函数，并求出S的最大值及此时的值。

11、已知7y

13（1）求f（x）的单调区间；

f(x)cos(x)(cosxsinx)42222（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

f（）=0，且a=1，求△ABC周长的最大值．

导语：前面讨论的各种考查条件的变化都是正向解题，我们还可以考虑“逆向变式”，即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目似曾相似的新题型．

设计7：交换设计一条件与结论，进行变式

例如：函数yasinxb（a,b为常数，且a0）的最大值是1，最小值是7，则a+b= 【高考真题展示】（课后作业）

8、（1998年上海高考题）函数y2sinxacosx4的最小值为1，则a=

29、函数y2asinx23asinxcosxab的定义域为0,,值域为5,1, 2求常数a,b的值. 三、课堂小结：

本课我们利用变换的思想，将同学们编写的题目整合成一张知识网络结构图，在整合的过程中，一方面我们看到了三角函数最值和值域求解问题由浅入深的变化过程，另一方面我们也体会到题目由难化易的求解过程。对于数学，形式化是解决问题的关键，而认清题目的结构是解决问题的突破点。都说书法者心中有字才落笔，我们数学则是心中有“题”才下手，所谓的“题”，是题中知识，结构形式，表达方式等，只有找出题中的显性和隐形知识，认清其结构，我们才能了解出题者的意图，才能知己知彼，百战百胜。通过复习，深刻理解正、余弦函数的有界性和单调性在求解简单三角函数的最值和值域问题中的重要作用，体会数学的形式化与模型思想在解决问题中的作用，熟练应用正、余弦函数的有界性和单调性等知识求解简单三角函数的最值和值域；

2、本节课的解题设计的思想将如何继续推广？我们可以纵向推广，例如通过换元转化为二次函数yat2btc型, 求一元二次函数在区间上的值域问题. 也可以函数类型在变换成yasinxb等

csinxd3、本节课主要谈论的是正弦型函数的最值问题，我们还可以横向推广，考查其他知识，比如周期，单调区间等。

四、作业（课堂展示的高考题）