小结教学目标

高三第一轮复习之

用样本估计总体

【三维目标】

1．知识与技能

(1)能利用频率分布直方图估计总体的众数，中位数，平均数．

(2)结合实际，能选取恰当的样本数字特征，作出合理判断，制定解决问题的有效方法．

2．过程与方法

在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．

3．情感、态度与价值观

通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作风．

【重点难点】

重点：利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数．

难点：(1)从频率分布直方图中计算出中位数；

(2)选取恰当的样本数字特征来估计总体，从而正确的对实际问题做出决策．

【教学建议】 本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念．教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究问题，探究问题的结论．

【教学过程】

一、【问题导思】

甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是：

甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 1．甲、乙两战士命中环数的平均数x甲、x乙各是多少？

2．由x甲，x乙能否判断两人的射击水平？

3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？

二、【新课讲授】

知识点一

众数、中位数、平均数

1．众数、中位数、平均数定义

(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．

(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数．

1(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么x＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个n数的平均数．

2．三种数字特征与频率分布直方图的关系(利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致)．

众数

众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值

(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积中位数

相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；

(2)表示样本数据所占频率的等分线

(1)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横平均数

坐标之和；

(2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点

知识点二

标准差、方差

1．标准差则用如下公式来计算：

s＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]. 2．方差

1标准差的平方s2叫做方差：①s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，

n② s2＝[x12＋x22＋…＋xn2] －x2。③s2＝f1 (x1－x)2＋f2(x2－x)2＋…＋fn(xnn－x)2，

方差越大，波动就越大，越不稳定。

题型一

众数、中位数、平均数的简单运用

例1 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：

职务

董事长

副董事长

董事

总经理

经理

管理职员

1

员

人数

1

5500[来源:工资

学。科。网Z。X。X。K]

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．

[来源:学科网ZXX

题型二

平均数和方差的运用

例2 甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验，各从中抽取6件测量，数据为[来源:Zxxk.Com]

甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

分组

频数

频率

[来源:Z[121,123)

§xx§k.Com]

[123,125) [125,127) [127,129)

5000

3500

3000

2500

2000

1500 1

2

1

5

3

20

题型三

频率分布与数字特征的综合应用

例3 已知一组数据：

125 121 123 125 127 129 125 128 130

[129,131] 合计

129 126 124 125 127 126 122 124 125

126 128 (1)填写下面的频率分布表：

(2)作出频率分布直方图；

(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数。

三、【课堂练习】

1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(

) A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数

2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于(

) A．21 B．22 C．20 D．23 3．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(

) A．3 B．4 C．5 D．6 4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则：(1)平均命中环数为________；

(2)命中环数的标准差为________．

5.某中学举行电脑知识竞赛，现将高二两个班参赛学生的成绩

进行整理后分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，

则参赛的选手成绩的众数与中位数可能是(

) A． 65,65 B． 70,65 C． 65,50 D． 70,50

命题点1 用频率分布直方图求频率、频数

典例

从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1∶3∶6∶4∶2，最右边一组的频数是6，请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：

(1)求样本的容量；

(2)列出频率分布表；

(3)成绩落在哪个范围内的人数最多，并求出该小组的频数、频率；

(4)估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比．

解

(1)由于最右边一组的频数是6，从左到右各小组的长方形的高之比为1∶3∶6∶4∶2，

故设样本容量为n，得(1＋3＋6＋4＋2)∶n＝2∶6，

6解得n＝(1＋3＋6＋4＋2)×＝48. 2(2)频率分布表如下：

分组

[50.5,60.5)

[60.5,70.5)

频数

频率

3

9

1

163

16

[70.5,80.5)

[80.5,90.5)

[90.5,100.5]

合计

18

12

6

48

3

81

41

81 3(3)由(2)知成绩落在[70.5,80.5)内的人数最多，频数为18，频率为. 83＋6＋4＋2(4)估计成绩高于60分的学生占总人数的百分比为×100%＝1＋3＋6＋4＋293.75%. 命题点2 用频率分布直方图估计总体

典例

(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；

(3)估计居民月均用水量的中位数．

解

(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.

由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，

解得a＝0.30. (2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：

由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000. (3)设中位数为x吨．

因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5. 而前4组的频率之和为

0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5. 所以2≤x<2.5. 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．

思维升华 (1)准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．

(2)在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．

跟踪训练

(2017·北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；

(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人

数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

解

(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，

所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，

所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，

分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，

所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5＝20. 100(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为

(0.02＋0.04)×10×100＝60，

1所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，

2所以样本中的男生人数为30×2＝60，

女生人数为100－60＝40，

所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，

所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.

题型三

用样本的数字特征估计总体的数字特征

典例

(1)(2017·长春模拟)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

运动员

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

甲

乙

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．

答案

2 1解析

x甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90，

587

89

91

90

90

91

89

88

93 92

x乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，

2s甲＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，

1515152s乙＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. (2)甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图：

①分别求出两人得分的平均数与方差；

②根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．

解

①由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分．

x甲＝x乙＝151510＋13＋12＋14＋16＝13；

513＋14＋12＋12＋14＝13，

52s甲＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4；

2s乙＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. 2②由s2甲>s乙，可知乙的成绩较稳定．

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．

思维升华

平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．

跟踪训练

(2018·福建漳平模拟)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，其中a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败．

(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；

(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．

解

(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数x甲102＝＝；

153212221－×10＋0－2×5＝. 方差为s2甲＝331599乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数x乙＝＝153；

5132361－×9＋0－2×6＝. 方差为s2乙＝51552522因为x甲>x乙，s甲

(2)记恰有一组研发成功为事件E，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共7个．因此事件E发生的频率为.用频率估计概率，即得所求概率为P(E)7＝. 15

高考中频率分布直方图的应用

715

考点分析

频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题，填空题，也有解答题，难度为中低档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．

典例 (12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？

规范解答

解

(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5，

所以直方图中x的值是0.007 5.[2分] 220＋240(2)月平均用电量的众数是＝230.[4分] 2因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，得a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.[8分] (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电

量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)，

111抽取比例为＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25＋15＋10＋55125×＝5(户)．

5

四、【作业布置】

五、【课堂小结】

1．一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数．

2．利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点．②中位数左右两边直方图的面积应相等．③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

3．样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．

六、【教学后记】