小结优秀教学设计

《二项式定理》教学设计（复习课共2课时）

一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、学生预习后的质疑统计及预测

1、二项式定理的发现与证明方法

2、二项式系数的性质及其证明

3、二项展开式中系数最大的项的求法及原理

4、二项式定理的逆用、变用及实际应用

5、二项式定理与其他考点的联系如贝努利不等式的证明、近似计算、整除性问题等。

三、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解、通项公式、及简单应用（求展开式中的某一项、系数最大项、二项式系数最大的项、各项系数之和、各个二项式系数之和）

难点：新知识的生成，递推思想的理解，观察、归纳、猜想、证明能力的培养，二项式定理的灵活应用及杨辉三角性质的挖掘。

四、教学过程

【创设问题情境】

今天是星期二，那么7天后的这一天是星期几呢？若15天后的这一天呢？若2

天后的这一天呢？

前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几

【预习检查】：

调查学生导学案完成情况，旨在督促学生自主学习。了解学生预习中存在的问题。具体操作可以以小组为单位分别阐述导学案中的“记”，“查”，“议”，“悟”，“练”。也可以设计问题串检查、回答预习中存在的问题。后者对教师要求高，既要在课前了解、统计学生预习过程中存在的问题，又要针对问题设计解决问题的方案。本节课采用问题串的形式分散难点，解决学生实际问题。

【新课讲解】

问题1、观察图1、图2、你能归纳、总结二项式定理吗？

以小组为单位分别汇报图1、图2的关系，同组及不同组相互补充。并举例说明展开式中的二项式系数与项的系数的关系。 1 1 1(ab)1ab 1 1 C10 C1

012(ab)2a22abb2 1 2 1 C2CC 2 2

0213(ab)3a33a2b3ab2b3 1 3 3 1 C3 C3 C3 C3

01234(ab)4 1 4 6 4 1 C4CCCC4444

30 （

图1 ） （

图2 ） （

图3 ）

问题2、二项式定理的展开式有什么特点？你会证明二项式定理吗？

诱导启发学生观察、归纳、补充，得出其4个特点：（1）(ab)n的展开式共n+1项。（2）(ab)n的展开式是n次齐次式。（3）按字母a的降幂b的升幂排列。（4）通项rnrrkkTr1Cnab（类比二项分布：~B(n,p),p(k)Cnp(1p)nk说明其与二项式定理通项的区别于练习）

引导学生探索二项式定理的证明：转化杨慧三角（如图3），根据图3及多项式乘法法r则说明组合数Cn的意义，得到二项式定理的证明思路。另外，凡是与自然数有关的恒等式、不等式的证明都可以用数学归纳法证明。提醒学生尝试数学归纳法。

问题3、观察图2、图3你能说出二项式系数的性质吗？

引导学生观察杨辉三角类比得出如下性质，并予以证明。

1Cnmnmm1mm01nn1112Cn,2CnCnCn1,3CnCnCn2,4C1C2CnCn1n-12n5从左向右先增后减有最大值，当n为奇数时C【典例分析】

问题4、如何求二项展开式中某一项或其系数？

例1.已知在(3x或Cn12n最大，当n为偶数时C最大。n2n123x)n的展开式中，第6项为常数项。

（1）求含x的项的系数

（2）求展开式中所有的有理项

问题5、如何求二项展开式中所有项的系数和或二项式系数之和？

例2.二项式(2x3y)的展开式中，求（1）二项系数之和 (2)各项系数之和 (3)所有奇数项系数之和

问题6、如何求得二项展开式中二项式系数或项的系数最大的项？

例3.已知f(x)(3x23x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数大992。（1）求展开式中二项式系数最大的项 (2)求展开式中系数最大的项

分析：设计如下问题串降低难度，分散难点。

（1）、用什么方法求得(3x23x2)n各项的系数和 （赋值法：4）

（2）、二项式(3x23x2)n的二项式系数之和是多少？（2）

（3）、请根据题意列出方程，怎样解方程42992 （换元法）

（4）、解一元二次方程xx9920时遇到像992这样的较大数字如何处理？ （因式分解法，

估算）

2nnnn29

（5）在数列an中是怎样求得其最大项？ （anan1）

anan1 问题7、如何解决情景设置中的问题？你会利用二项式定理证明贝努利不等式（(1x)n1nx(x1.n1))吗？

问题的提出使课堂前后呼应，学以致用。提高学生学习积极性。

五、课堂小结

（1）注意二项式定理中二项展开式的特征

（2）区别二项式系数、项的系数

（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。

（4）掌握赋值法求二项式系数和及各项的系数和

六、课堂检测

a11、【2011年高考新课标卷】（8）x2x的展开式中各项系数的和为2，则该展xx开式中常数项为（ ）

（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 2、【2013年高考新课标1（理）】（5）设m为正整数,(xy)值为a,(xy)A．5 2m12m5展开式的二项式系数的最大展开式的二项式系数的最大值为b,若13a7b,则m（

）

B．6 C．7 D．8 61x,x0,3、【2013年高考陕西卷（理）】设函数f(x) , 则当x>0时, f[f(x)]表xx0.x,达式的展开式中常数项为（

）

A．-20 B．20 C．-15 D．15 4、设a0sinxdx，二项式(ax1x)6展开式中含x项的系数是（ ）

1xA．192 B. 360 C. 240 D. 180 5、已知f(x)x2x4的最小值是n，则二项式(x)展开式中系数最小项是（

）

A．第一项 B.第四项 C .第三项或第五项 D. 第二项

523456、

若(2x－3)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于(

) A．－10 B．－5 C．5 D．10 【检测评价】答卷时，教师巡回指导，及时纠正学生解题中存在的问题。15分钟后，教师公布答案，并解决学生答卷中的共性问题。并要求各组小组长批改试卷，并给组员评价签字。

七、作业布置

1、必做题：学习资料“夯基”1~8 2、选做题：学习资料“夯基”12、13 八、教学反思

本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都调动起n

来了，当大家澄清在问题的解答时，已经进入二项式定理的实际应用。二项式定理的得出，二项式系数的性质归纳都借助杨辉三角的特征，体现出我国数学家的聪明智慧。紧接着又进行一系列的问题串，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流，整个过程顺理成章地完成。