阅读与思考 三角学与天文学教学设计(第二课时)

三角函数单元设计

隆尧一中

葛丽丽

《三角函数》单元设计

摘要：

课程标准: 1.总体要求。

在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

2.具体要求。

（1）任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数

①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（

，能画出

的图象，了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在

，正切函数在

上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与轴交点等）。

④理解同角三角函数的基本关系式：

⑤

结合具体实例，了解实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

教材分析：

单元分析 : 《三角函数》是人教版高中数学必修四第一章的内容。是近年来高考重点考察的内容之一，在高考中占有较大的比重。我们知道，函数是刻画客观世界变化规律的数学模型。在数学必修1中，我学习了指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数，知道这些函数可以用来刻画现实问题中某些类型的变化规律。这一章的内容是基本初等函数的一个延续。它是描述周期现象的重要数学模型，在数学、天文、航海、建筑等其他领域都有重要的作用，与其他学科（物理、化学、生物）有紧密的联系。学好这章内容，不仅可以帮助我们学好其他学科，也是我们接下来要学习《三角恒等变换》、《向量》《极坐标》等知识点的基础，更是我们学生走向大学后《高等数学》学习的一个基础知识。

单元目标：学习目标：1任意角，弧度制，任意角三角函数定义

2：三角函数图像及变换，性质

3：学生通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会函数在解决具有周期变化规律问题中的作用。

情感目标：

1：通过本章学习，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

2：在学习本章过程中，学生能发展数学抽象、直观想象、数学运算数学学科核心素养。

3：通过本章课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。

教学难点：（1）弧度制概念的建立

（2）周期函数的概念

（3）正弦型函数

的图象变换

（4）综合运用公式进行求值、化简、证明

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教学重点：任意角三角函数的概念

同角三角函数的关系式

诱导公式

正弦曲线的画法和正弦函数的性质

学情分析：高一学生热爱学习，喜欢探索，对于初中已经学习了锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法，能够迅速适应任意角的三角函数的定义。但在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，数学思想方法运用不熟练，尚有待加强必须在老师一定的指导下才能进行。

三角函数是周期函数的代表函数，在研究的过程中数学思想方法体现的淋漓尽致，尤其是的学习性的涉及到的主要数学思想有数形结合、转化与化归、分类讨论、换元的数学思想方法，其中数形结合是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，它在本单元是贯穿始终，它重点培养了学生的直观想象、数学抽象核心素养，所以我按照数形结合的思想方法结合课程内容把整个单元划分成了三个第专题：1：数形结合---终边旋转专题，2：数形结合---单位圆专题，3：：数形结合---函数图像专题。具体情况如下：

专题一：数形结合之终边旋转。本专题包括任意角和弧度制两小节内容，本专题中认识象限角，终边相同的角都需要借助坐标系，进而利用终边位置来直观认识，尤其是对终边相同的角研究时，利用数形结合学生更能体会“周而复始”的变化规律，为研究诱导公式一和函数周期性奠定基础。

专题二：数形结合之单位圆。单位圆在本单元中的地位是非常重要的，我们用它定义了任意角三角函数进而研究一些问题，本专题让学生体会数形结合的思想在解决问题中的作用。在教学过程中，我注意引导学生使用单位圆讨论分析三角函数问题的意识和习惯，提高分析问题，解决问题的能力。

1定义三角函数：

我们提示学生把锐角放入直角坐标系中，利用锐角三角函数定义，从终边上点的坐标入手，再结合相似三角形，比值与点在终边上的具体位置无关后”，将问题特殊化，引入单位圆概念，直接用单位圆上点的坐标来定义三角函数。然后把三角函数的一般定义作为思考题留给学有余力的学生课后探讨转化到终边与单位圆的交点，让学生体会

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数学的简洁美和实质，。

教学中应引导学生，三角函数定义中，是一个任意角，同时它也是一个实数（弧度数），“它的终边与单位圆交于点P（x,y）”，实际上包含两个对应关系，即实数（弧度）对应于点P的纵坐标y——正弦，实数（弧度）对应于点P的横坐标x——余弦，认识清楚上述对应关系，是理解三角函数定义的关键。

2：判断三角函数符号

3:三角函数线

4：同角三角函数基本关系

上述3个问题采用自学辅导式学习方法，以单位圆性质作为认知基础引导数形结合，学生探讨合作，独立完成，深化对定义的理解。

5；借单位圆讨论三角函数的性质。（多角度，多方法看问题，增加知识的深度和广度，培养直观想象核心素养）

（1）由终边相同的角的关系，结合诱导公式一，再仔细体会单位圆与终边的交点之间的规律，周期性就不难理解了。

（2）由单位圆上点的变化特点可知：在内定义域内，函数的单调性以及奇偶性。

（3）随角α的变化，观察单位圆上点的坐标的变化范围，知正余弦函数值域为[-1,1]，正切的值域为R. 6．借单位圆推导诱导公式。

引导学生先结合单位圆考虑简单的终边关于原点对称的角，终边关于x轴或y轴对称的角，终边关于直线y=x对称的角关系？发现它们的三角函数之间关系？学生合作探讨，独立根据三角函数定义导出所有诱导公式，既能很好地反映诱导公式的本质，又使它们成为一个有机的整体，培养了学生逻辑推理核心素养。

7.用单位圆得三角函数图像。用单位圆来定义三角函数线，借助函数线我们可以引导学生用描点法得到三角函数的图像。

之后利用正弦函数和余弦函数关系得到余弦函数图像

。

我们可以让学生现场操作“简谐运动”实验，（有助于深刻理解三角函数的定义；之后指导学生小组合作、讨论，共同用描点法完成图像，学生展示，学生老师评价。

再研究课本上用正弦线作图方法。（和自己方法比较才能有进步）让学生说出作图时的关键点，强调五点作图。教师展示几何画板，通过跟踪图像上任意点的坐标，可以帮助学生归纳函数的性质让学生体验图像动态生成过程。

8:比较大小、解方程和不等式。

我们可以引导学生利用单位圆解决如下问题，体现数学知识内在联系，引导学生站在一定高度看问题，培养学生逻辑推理、数学运算、数据分析的核心素养。

51（1）比较三角函数值大小如sinπ＞sinπ；

1212

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（2）解方程如sin1；

21。

2专题三：数形结合之函数图像。函数是中学数学知识的一条主线，函数与性质是函数的一把双刃刀，是数形结合这一重要数学思想的奠基石。课本在如下方面有所体现： （1）本单元中一方面我们观察正弦函数图像来得到性质然后在用定义证明如：定义域、值域、周期性、奇偶性，而函数单调性也只是要求从图像中得到，并不要求证明·另一方面我们利用正切函数的性质得到了正切函数的图像，这样就给学生提供研究数学问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数学结合思想体现的更加全面。

对于三角函数性质的探究，充分体现了数形结合的数学思想。观察函数的图像时看什么？——整体与局部，变化与不变的，特殊的与一般的......引导学生学会观察图形，将图形特点用相应的数学语言加以概括描述，总结出函数的性质。要给学生时间与空间，重视性质的发现过程与数学语言的学习过程；重视“探究与发现”部分关于“利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质”，在深刻理解三角函数线的基础上，体验从不同的角度研究相同的问题，加深对三角函数的性质的理解与应用能力；引导学生将三角函数性质与指对函数的性质的加以类比

，从知识和方法两个层面探究它们的特色。引导学生对问题的认识由表及里，抓住问题的本质。

（2）我们研究函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像时，

研究函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像时，我们可以引导学生逐个改变参数取值，观察对比图像变化情况，反过来研究参数对图像的影响，让学生利用几何画板经过尝试——调整——尝试，学生在探究中学会选择切入点，选择研究方法，体验在选择、控制变量，在交流、合作中的研究合作探讨独立完成，教师不需要过多干预。本小节完全依赖于数形结合，使数形结合思想在学生印象中根深蒂固，培养了学生直观想象的核心素养。

（3）三角函数模型的简单应用中课本上有四个例题，其中例1和例2是图像和解析式互求体现了编者对数形结合思想的重视。例3和例4都是解决实际问题，学生需要根据散点图选择不同的函数模型，教师应组织学生进行交流或让学生根据自己选择的模型求解，然后根据所求结果与实际情况的差异进行评价。再次体现了数形结合对于我们解决问题的重要性，培养了学生数学建模直观想象的核心素养。 单元教学过程中有以下几个过程是需要特别注意：

（1）从一般角的概念→给出三角函数的定义；

（2）从单位圆→三角函数的图像；

（3）从三角函数的图像→理解反映三角函数变化的基本性质：周期（频率）、单调区间、零点、极值点等；

（4）从研究三角函数的两个基本图形：单位圆、三角函数图像→三角函数的基本公式：如sinx=sin(x+2kπ) , 等；

（5）从对基本三角函数y=sinx的理解→影响一般三角函数y=Asin(x+φ)变化的参数：周期，相位，振幅A等；

（6）从对一般三角函数y=Asin(x+φ)变化的参数初步理解→深入认识它们几何意义和物理意义，等。

以上是我对本单元的一些理解和设计，新课程更加注重学生的全面发展，个性发展和终身发展的基本规律, 体现了时代对基础性学习的能力、发展性学习能力和创新性学习能力培养的整体要求。体现了学生各种素质在学科课程培养中的有机联系,体现了时代对基础性学习能力、发展性学习能力和创新性学习能力培养的整体要求.还知道了教学目标分析与编写应注意的问题：就教学目标的整体性而言，在制定教学目标时，应将课程目标，单元目标和课时目标有机的结合起来．通过逐层具体化来完成最终的教学目的．

（3）确定角的集合或范围如已知sin

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通过这次单元设计活动收获很大，谢谢大家。

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