2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示名师教学设计2

教学分析

平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便．联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj. 于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．

三维目标

1．通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理．

2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．

3．了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量正交分解，会用坐标表示向量．

重点难点

教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．

教学难点：平面向量基本定理的运用．

课时安排

1课时

教学过程

一、复习引入：

平面向量基本定理：如果错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。是同一平面内第1页

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的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量错误！未找到引用源。，有且只有一对实数λ1，λ2使错误！未找到引用源。=λ1错误！未找到引用源。+λ2错误！未找到引用源。

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与错误！未找到引用源。轴、错误！未找到引用源。轴方向相同的两个单位向量错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。作为基底.任作一个向量错误！未找到引用源。，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，使得

1

错误！未找到引用源。…………○1○我们把错误！未找到引用源。叫做向量错误！未找到引用源。的（直角）坐标，记作

2

错误！未找到引用源。…………○2○其中错误！未找到引用源。叫做错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。轴上的坐标，错误！未找到引用源。叫做错误！未找2式叫做向量的坐标表示.与到引用源。在错误！未找到引用源。轴上的坐标，○2○错误！未．．．．．找到引用源。相等的向量的坐标也为错误！未找到引用源。. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．特别地，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。. 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作错误！未找到引用源。，则点错误！未找到引用源。的位置由错误！未找到引用源。唯一确定. ．．．．．．．．．．设错误！未找到引用源。，则向量错误！未找到引用源。的坐标错误！未找到引用源。就是．．．．．．．．．．点错误！未找到引用源。的坐标；反过来，点错误！未找到引用源。的坐标错误！未找到．．．．．．引用源。也就是向量错误！未找到引用源。的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平．．．．面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算

（1）

若错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，同理可得错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

（2）

若错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。

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一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=( x2，

y2)  (x1，y1)= (x2

x1，

y2 y1) （3）若错误！未找到引用源。和实数错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。

三、讲解范例：

例1如图用基底表示向量

例2 已知错误！未找到引用源。=(2，1)，

错误！未找到引用源。=(-3，4)，求错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。，3错误！未找到引用源。+4错误！未找到引用源。的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由错误！未找到引用源。得D1=(2，

2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，

6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，

0) 例4如图，已知平行四边形的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。

四、课堂练习：

1．若M(3，

-2)

N(-5，

-1) 且

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，

求P点的坐标

2．若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。=

. 3．已知：四点A(5，

1)，

B(3，

4)，

C(1，

3)，

D(5，

-3) ，

求证：四边形ABCD是梯形. 五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

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