2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计及课堂实录

高中数学平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3平面向量的坐标运算

一、内容解析

通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反之，任一有序实数对就表示一个向量，这样就给出了向量的另一种表示——坐标表示，向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为数量运算，从而简化了思维过程。

1、

平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

2、

平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，则称有序实数对（x，y）为向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。

3、

平面向量的坐标运算

（1）若a(x1,y1),b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2),

ab(x1x2,y1y2)即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；

（2）若a(x,y)应坐标；

（3）若A(x1,y1) , B(x2,y2) ，则AB= (x2-x1 , y2-y1)即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

a(x,y),(R)即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相二、目标解析

1、认知目标：理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

2、能力目标：培养阅读概括、观察猜想、归纳类比、分析综合等思维能力，化归与转化、分类讨论思想的应用及从特殊到一般的研究方法。

3、情感目标：激发学生学习兴趣，体验数学发现和创造历程，培养自主研究，勇于探索、讨论交流、阅读自学等优秀学习品质。

三、问题诊断

1、平面向量的坐标与向量的始点、终点坐标有关；应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。

2、两向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等，这样，相等的向量坐标相同，但其起点、终点却可以不同。如A（1，2）、B（3，4）、C（-2，1）、D（0，3），则ABCD(2,2)

四、学习行为

平面向量正交分解自学辅导式，平面向量的坐标表示引导发现式，平面向量的坐标运算自主探究式。

五、教学支持条件

1

多媒体（主要是几何画板软件），实物投影仪

六、教学过程

（一）复习回顾，引出课题

平面向量的基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2。

该定理的实质是：对平面内任一向量，在给定基底的前提下，有且只有一个有序实数对与其对应；．．．．．．．而由有序实数对，可以很自然地联想到平面直角坐标系内点的坐标。那么：向量和坐标之间有怎样的关．．．．．．．．．．．系呢？这就是今天要研究的课题：平面向量的坐标表示。

有序实数对

向量 ？？？ 坐标

此环节，复习定理过程由学生回忆并作答，教师简单分析，由此引出课题。

（二）三层探究，建构新知

首先让学生阅读课本P105思考题前一段文字，从光滑斜面上木块重力G分解中理解正交分解定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

说明：选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。

探究活动1：平面向量的坐标表示的定义

问题1：如图，取与x轴，y轴同向的单位向量i、j为基底，分别用i、j表示向量a,b,c,d。

易得a2i3j；

bi3j；

c2i2j；

d4ij

根据定理，对a，有唯一和它对应的实数对（2，3），我们称(2，3）为a的坐标，即a=(2，3)。

类似地，b(1,3),c(2,2),d(4,1)。

问题2：更一般地，怎样定义平面内任意一个向量a的坐标？

学生思考，讨论，作答。（教师要给学生充足时间，并参与讨论、指导、修整）

平面向量的坐标表示的定义：在直角坐标系内，取与x轴，y轴同向的单位向量i、j为基底，任意一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使axiyj，则称（x,y）为向量a的坐标。记作a=（x,y）。

师生共同剖析定义，注意并理解定义中的关键词：基底的选择，有序实数对。

问题3：写出下图中各向量的坐标。

2

学生思考，作答。

探究活动2：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点和终点坐标之间的关系

问题4：在问题3相应的课件中，任意拖动点A，求不同位置下的向量OA的坐标和点A的坐标，由此得到它们之间有何关系？

学生在观察及回答过程中得出结论：以原点为起点的有向线段表示的向量坐标就是其终点坐标.即：OA=(x,y)A(x,y) 问题5：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？

在得出特殊情形下的向量坐标和终点坐标之间的关系后，给出问题5让学生思考，探究讨论，在教师的引导下完成证明。

结论：若A(x1,y1) , B(x2,y2)

则AB= (x2-x1 , y2-y1) 即：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点与起点的相应坐标的差．

探究活动3：向量的坐标运算

问题6：当向量用有向线段表示时，我们可以对其进行加、减、数乘等运算，向量用坐标表示了之后，相应的运算法则是什么？即：若a(x1,y1),b(x2,y2)，则ab?,ab?a?

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给学生充分时间进行自主探究，利用实物投影展示部分学生探究证明过程。

结论：若a(x1,y1),b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1)。

以加法为例进行证明（其余类似可得）：ab(x1iy1j)(x2iy2j)

(x1x2)i(y1y2)j

(x1x2,y1y2)

学生用文字语言概括向量的坐标运算法则：两个向量和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标。

学生反思总结证明过程中的关键步骤：从数到形和从形到数的转化。

（三）练习反馈，巩固新知

练习1：已知a(2,1),b(3,4),c(2,5)，求a2b3c。

变式：已知ab(2,1),ab(3,5)，求a,b。

例题与变式都由学生先完成，然后讲评。注意和数的运算的区别和联系。

练***行四边形ABCD的点A、B、C分别为（-2，1）、（-1，3），（3，4），求D点坐标。

变式：上题中将条件“平行四边形ABCD”改为“A、B、C、D四点构成四边形”，则结果又如何？

师生共同探索，引导学生发现多种解题思路，并对方法进行总结。

练习3：已知A（11，12）、B（4，5）、C（10，11），求证：A、B、C三点共线。

变式：已知A（k，12）、B（4，5）、C（10，k），且A、B、C三点共线，求k的值。

学生完成。反思解法，归纳一般结论。

（四）总结反思，提高认识

1、平面向量的坐标表示的定义，向量坐标运算法则。

2、数形结合、化归与转化、分类讨论思想的应用。

3、观察猜想、归纳类比等合情推理及分析、综合等逻辑推理的方法。

（五）布置作业，深化拓展

1、书面作业

课本P114

1、2、3 2、研究题：在平面斜坐标系xoy中，∠xoy=60°,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=xe1+ye2，（其中e1,e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为（x,y）。如果P点斜坐标为（2，-2），求P到O的距离。

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