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第四讲

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)

振幅

A 周期

2πT＝

ω频率

1ωf＝＝

T2π相位

初相

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示. x ωx＋φ

y＝Asin(ωx＋φ)

0

π

2A

0

3π

2－A

0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) ππ3π(1)作函数y＝sin(x－)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－6221)，(2π，0)这五个点．(

) ππ(2)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin(2x＋)．(

) 44πππ(3)函数y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向右移个单位长度得到的．(

) 4423ππ(4)函数y＝sin(－2x)的递减区间是(－－kπ，－－kπ)，k∈Z.(

) 44(5)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(

) (6)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T.(

) 2

题型一

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

例1

设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω>0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的．

π1

(1)把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将62π图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(

) 3πA．x＝－

2πC．x＝

8πB．x＝－

4πD．x＝

4ππ(2)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(

) 32π7ππ7πA．在区间[，]上单调递减

B．在区间[，]上单调递增

12121212ππππC．在区间[－，]上单调递减

D．在区间[－，]上单调递增

6363

π例2

(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝3，则(

) 21πA．ω＝，φ＝

26πC．ω＝2，φ＝

61πB．ω＝，φ＝

23πD．ω＝2，φ＝

3π(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示，2则该函数的解析式为____________．

如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段．

(1)求其解析式；

π(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．

6

题型三

函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质

πππ例3

已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相223邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

π(2)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．

2

π

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值为2，最小正周期为2ππ，直线x＝是其图象的一条对称轴．

6(1)求函数f(x)的解析式；

ππ(2)求函数g(x)＝f(x－)－f(x＋)的单调递增区间．

1212

三角函数图象与性质的综合问题

xπxπ典例：(12分)已知函数f(x)＝23sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．

2424(1)求f(x)的最小正周期．

π(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上6的最大值和最小值．