复习参考题优质课教案

第七讲 简单三角恒等变换

一、引言

（一）本节的地位：三角函数恒等变换是高中教学的重要知识之一，也是历年高考必考查的内容，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求．

（二）考纲要求：通过本节的学习要掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等证明．重点是应用公式进行三角函数式的化简、求值和恒等证明．

（三）考情分析：一般考查对公式理解与熟练运用，以及考查运算能力、逻辑推理能力，在历年的高考中，常常要考查，考试类型有应用公式化简求值、恒等变形、与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查．

二、考点梳理

1．两角和与两角差的正弦公式：sin()sincoscossin；

余弦公式：cos()coscos正切公式：tan()sinsin；

tantan．

1tantan2．二倍角的正弦公式：sin22sincos；

二倍角的余弦公式：cos2cossin2cos112sin；

22222tan．

1tan21cos21cos2223．降幂公式：sin；cos． 22二倍角的正切公式：tan24．解题时既要会正用这些公式，也要会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．

三、典型问题选讲

（一）化简（求值）问题

例1 求下列各式的值：

⑴cos20cos40cos80；

⑵tan70tan503tan50tan70；

⑶sin50(13tan10）. 分析：本题考查三角公式的应用，会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．

解析：⑴[法一]原式=1sin160132sin20cos20cos40cos80．

38sin2082sin20

1

[法二]原式=sin40sin80sin1601．

2sin202sin402sin808⑵原式=tan(7050)(1tan70tan50)3tan50tan70

33tan70tan50-3tan50tan703．

⑶原式=sin50(13sin10sin50(cos103sin10)

)cos10cos102sin50(cos60cos10sin60sin10)2sin50cos50cos10cos10

sin100cos101．

cos10cos10归纳小结：在已知角求值的式子变形中，常通过“造出特殊角”、“对偶式”来简化计算过程．一般情况下，当是特殊角时，使用tantantan()(1tantan)化简式子．

例2 化简下列各式：

（1）11113cos2，2；

22222cos2sin2（2）．

2cotcos244分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2是的二倍，是2的二倍，以及取值范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点．

解：（1）因为442，3112，所以cos2coscos，

222又因311，所以cossinsin，

422222所以，原式=sin（2）原式=．

2cos2cos2

2tancos22sincos4444

2

=cos2cos21．

cos2sin22归纳小结：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意2，，三个角的内在联系的作44用，cos2sin（2）化简题一22sincos是常用的三角变换．244sin21cos21cos22，cos2，sin．

2sin22定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧．（3）公式变形cosasin例3 已知正实数a，b满足55tan8，求b的值．

15aacosbsin55bcos分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于的方程，从而可求出bab，若注意到等式左边的分子、分母都具有asinbcosa的结构，可考虑引入辅助角求解．

b8cossin5a515，则

解法一：由题设得b8cossincos5a515sin88sin8sincoscossinb155tan3.

15515588a38coscossinsincos155155515解法二：因为asin5bcos

a2b2sin，55ba2b2cos，其中tan，55a58由题设得tantan.1558所以k，即k，5153b故tantanktan3.a33

acosbsin

3

btan8解法三：原式可变形为：5atan，b151tana5

tanb85令tan，则有tantan，a155tan1tantantan5b8令tan，则有85tantan，由此可ak1tankZ,所以5k，Zk15tan51535k8tan3，即b3

故tantan由此可kkZ,所以k，kZ33a5153b故tantanktan3，即333atan归纳小结：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，且辅助角公式asinbcosa2b2sin，ab22asinbcos，或abcos，其中tan其中tan在历年高考中ba使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳．

例4 已知tan，求

tan是方程x25x60的两个实根，2sin23sincoscos2的值．

分析：由韦达定理可得到tantan及tantan的值，进而可以求出tan的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值．

tantan6，

解法一：由韦达定理得tantan5，所以tantantan51.

1tantan162sin23sincoscos2

原式22sincos2tan23tan1213113．

tan2111tantan6，

解法二：由韦达定理得tantan5，

4

所以tantantan51.

1tantan163于是有kkZ，

4333331原式2sin2ksin2kcos2k13．

422422归纳小结：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”．（2）运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等．抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如

coscossinsincos，tan1tantantantan，tantantantantantan，tantantantantantan。（二）恒等变形

cosx1sinx例5 求证：．

1sinxcosx分析：恒等变形问题可由一边推证得另一边，也可以从两边进行推证得出相等关系．

证法一：由题意知cosx0，所以1sinx0,1sinx0．

所以左边=cosx(1sinx)cosx(1sinx)1sinx右边．

2cosx(1sinx)(1sinx)cosx则原式成立．

证法二：由题义知cosx0，所以1sinx0,1sinx0．

又(1sinx)(1sinx)1sinxcosxcosxcosx，

所以22cosx1sinx．

1sinxcosx证法三：由题意知cosx0，所以1sinx0,1sinx0．

cosx1sinxcosxcosx(1sinx)(1sinx)cos2x1sin2x0，

1sinxcosx(1sinx)cosx(1sinx)cosx则cosx1sinx．

1sinxcosx归纳小结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，

5

证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．

（三）与其他知识综合

例6 △ABC中，tanCsinAsinB，sin(BA)cosC．求A,C．

cosAcosB分析：“切化弦”是解决三角问题常用的方法，再利用三角形中角的关系进行恒等变形．

sinAsinBsinCsinAsinB，即，

cosAcosBcosCcosAcosB所以sinCcosAsinCcosBcosCsinAcosCsinB， 即sinCcosAcosCsinAcosCsinBsinCcosB，

解：因为tanC得sin(CA)sin(BC)．

所以CABC，或CA(BC)(不成立)．

即2CAB，得C3，所以．BA2．

3又因为sin(BA)cosC得A15，则BA，或BA（舍去）．

2664,B5．

12k，kZ)，B(3，0)，C(0，4归纳小结：注意三角形中角的范围，注意分类讨论．

例7 已知三点A、B、C的坐标分别为A(cos，sin)(3)，若ABAC1，求1sin2cos2的值．

1tan分析：本题将向量知识与三角知识结合起来，综合考查应用知识的能力．

解：AB(3cos，sin)，AC(cos，3sin)，

∵ABAC1，∴(cos3)cossin(sin3)1

．

整理得：sincos2

①

3

1sin2cos22sin22sincossin1tan1cos

2sincos(sincos)2sincos

．

sincos45由①平方得12sincos，∴2sincos．

991sin2cos25即．

1tan9归纳小结：正确应用ABAC1，得到关于角的三角函数关系，利用二倍角、同角三角函数公式解决问题．

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例8（2009，湖南）已知向量a(sin,cos2sin),b(1,2).

（1）若a//b，求tan的值； （2）若|a||b|,0,求的值．

分析：（1）利用向量共线及三角函数同角关系求值，（2）利用向量模相等得出三角函数关系，求得的值．

解：（1）因为a//b，所以2sincos2sin,于是4sincos，故tan.

（2）由|a||b|知，sin2(cos2sin)25,

所以12sin24sin5.

从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，

214于是sin(24)2．

229，

44457所以2，或2．

44443.

因此，或42又由0知，归纳小结：本题考查向量的模、向量共线及三角函数化简求角．

四、本专题总结

本节课研究三角恒等变换，主要方法有：引入辅助角、换元、降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角等常用的化简技巧，体现化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，应注意在应用公式时，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等.抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．对公式的逆用公式，变形式也要熟悉．

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