2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案1

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计

邯郸市第二中学来艳宁

【教材内容地位】

本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。本节教学的内容是本单元的第2节。

【目标与目标解析】

知识与技能：

1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；

2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)

3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。

过程与方法：

学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

情感态度与价值观：

在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

重点：平面向量坐标表示的定义

突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想. 难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解

突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理

【教学过程】

一、知识再现、学习准备

把向量a在以下方向上进行分解

a

a

a

a

设计意图：复***面向量的基本定理，为今天的新课做铺垫！

得到的结论：不同的基底，分解不同

基底定了，分解唯一

互相垂直的两个向量作为基底更方便容易

二、提出问题，引出新课

问题：观看动画一个栓实心球的绳子突然断了，然后在一个倾斜角为30度的光滑斜面

上匀速下滑。

讨论：让同学们尝试用所学的物理知识对这个实验进行分析。

1、

绳子为什么会断？

2、

绳子上的的这个力是谁的产生的？

3、

能用数学的观点解释这个么？

设计意图：让学生体会正交分解的用途很广。

由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a均可以分解为不共线的两个向量1e1、2e2，使a＝1e1+2e2．

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形．把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解．

如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形．

向量的坐标表示

现在我们要将这个问题数学化，来看这个图

j

O

30ia

a10A

r1、

取两个基底：i为水平向右方向上的单位向量

r

j为竖直向上方向上的单位向量

r2、a=G，模长就是重力的大小

rrr3、把a在i，j方向上进行分解

r4、a怎么表示？

5、有序实数对

6、建系

7、坐标

yO

30xaa10A

设计意图：让学生一步一步体会向量量化的过程

rrrr向量的坐标表示定义：平面中的任意向量axiyj，（x,y是唯一确定的）a的坐标记作

rax,y. 问题：

思考这两个向量的坐标

结论：向量的位置发生变化但是坐标不变。相等向量坐标相等，但是位置可以不同。

三、例题

rrrrrur例1、如图，分别用基底i,j表示向量a,b,c,d，并求出它们的坐标.

例2、

y

rrrr在平面直角坐标系中，如图，已知向量a,b且a4,b3，求

它们的坐标. 设计意图：让学生展示解题结果，体会向量的位置变化与它的坐标无关。

四、当堂小测

1、下列可作正交分解的基底是（

）

ruuuruuuA.

等边ABC中的AB和AC

ruuuruuuB．锐角ABC中的AB和AC

ruuuruuuoC.

直角ABC中的AB和AC，且A90

ruuuruuuD.

钝角ABC中的AB和AC

uuurMN2,32、已知，则点N的位于（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.不确定

3、已知4、向量rra3,2x1,by1,xrrxy

. ，且ab，则uurOAx,y（O为坐标原点）的终点A位于第二象限，则有（

）

A．x>0,y>0

B.x>0,y<0

C.x<0,y>0

D.x<0,y<0 y

rrr5、在平面直角坐标系中xoy，向量a,b,c的方向和长度如图，

30o分别求他们的坐标.

45o

30o

五、小结

小结：⑴同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示．

⑵通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式——坐标表示式．向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来．

六、课后作业：

⒈课本102页习题2.3

B组

⒊

0x

⒉预习课本P106～P108，思考下列问题：

⑴已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？

⑵怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？

⑶向量的坐标与点的坐标之间有什么关系？

⑷例5的两种解法，在解题思路上有什么不同？

板书设计：

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

知识点回顾

⒈向量的正交分解

⒈向量的若干概念

⒉向量的坐标表示

⒉向量的夹角

3.向量与坐标的对应关系

3.平面向量基本定理

小结

课后反思：