探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期第二课时教案

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计

一．教材分析：

本节课内容是北师大版数学必修4第一章第五节《函数y＝Asin(ωx+φ)的图象》，是在学生已经学习了正、余弦函数的图象和性质的基础上，进一步研究生活生产实际中常见的函数类型：y＝Asin(ωx+φ)函数的图象.本节内容从一个物理问题引入，根据从具体到抽象的原则，通过参数赋值，从具体函数的讨论开始，把从函数y=sinx的图像到函数y＝Asin(ωx+φ)的图像的变换过程，分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图像的影响，然后整合为对y＝Asin(ωx+φ)的整体考察。在解决这个问题的过程中，借助计算机画出函数y＝Asin(ωx+φ)的图像，并观察参数φ、ω、A对函数图像变化的影响，同时借助具体函数图像的变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归数学思想。同时还力图向学生展示观察、归纳、类比、联想等数学思想方法，通过本节内容的学习可以使学生将已有的知识形成体系，对于进一步探索、研究其他数学问题有很强的启发与示范作用。

二、教学目标：

1．知识与技能目标：

能借助几何画板，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

2．过程与方法目标：

通过对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

3．情感态度，价值观目标：

通过对问题的自主探究，培养独立思考能力；小组交流中，学会合作意识；在解决问题的难点时，培养解决问题抓主要矛盾的思想．

三、教学重点，难点 1．重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。

2．难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。

四、教法与教具选择：

1．教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论. 2．教学手段：运用几何画板、多媒体. 五、教学过程

（一）、创设情景，导入新课：

1、物理中简谐振动中平衡位置的位移y随时间x的变化关系图像：

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计

2、图（1）是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象，图（2）是放大后的图象：

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计

【设计意图】采用两个物理知识引出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，体现该函数图象与生活实际的紧密联系,体现函数图象在物理学上的重要性，激发学生研究该函数图象的兴趣。引导学生思考y=Asin(ωx+φ)与正弦函数的一般与特殊的关系，进而引导学生探讨正弦曲线与函数y=Asin(ωx+φ)的图象的关系。

问题1：观察它们的图象与正弦曲线有什么联系？

【设计意图】复习回顾，直接切入研究的课题。（揭示课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象）

问题2：你认为怎样讨论参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？

【设计意图】引导学生思考研究问题的方法，先分别讨论参数A、ω、φ对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响，然后再进行整合。

（二）、自主探究，构建数学：

I、探究函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计对函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像的影响。

问题1：作出函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计在一个周期的图像。分别在函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计和y=sinx的图像上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，同时移动这两个点并观察其横坐标的变化，你能从中发现函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计对图像有怎样的影响？

【设计意图】学生利用“五点作图法”作出函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计在一个周期的图像，与函数y=sinx进行比较。教师用几何画板动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的变量和不变量，从而得出结论。

问题2：对函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计任取不同的值，作出的函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计图像，看与y=sinx的图像是否有类似的关系？

请你概括一下如何从正弦曲线出发，经过怎样的图像变换得到函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像？

【设计意图】特殊到一般的学习方法比较符合学生的认知规律，同时也培养了学生抽象概括能力。由于在高一上学期函数部分进行过较多的图象平移类变换，所以这部分内容不难，老师可以让学生自主探究得到结论。只不过在叙述结论的时候，学生的语言可能不规范，易出现如“把图象进行平移”的描述，教师可指出精确的描述应为：把“图象上的每一点”进行平移）

II、探索函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计对函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像的影响。

问题4、由正弦函数与y=sinx图象如何变换得到函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象？

猜想（1）函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计。

猜想（2）函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计。

【设计意图】观察函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计解析式，容易发现参数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计、函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计都发生了变化，根据已有的知识基础，自然恰当地提出本节的核心问题：两种变换能否任意排序，最后确定研究方向。

A、

自主实验，形成初步结论：小组合做，根据自己的兴趣在两种变换中选择一种进行研究：

问题5：按照第一种方法由函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象如何变换到函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象？

按照第二种方法由函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像如何变换到函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象？

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计

学生投影回答，结合自己画的函数图像，说明变换方法。

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计

①.把函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象上的所有的点__左___平移

__函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计_个单位长度，得到函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象。

②.再把函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象上各点的_横__坐标_缩短__函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计到原来的_函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计_倍（纵坐标不变），得到函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象。

学生总结上述变换过程：

①.把函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象上的所有的点

向左

（函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计）或

向右

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计平行移动函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计个单位长度，得到函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象。

②.再把函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象上各点的_横_坐标__缩短_函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计或_伸长_函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计到原来的_函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计_倍（_纵_坐标不变），得到函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象。 B、

深入探究，讨论分析：

问题6：第二种变换方法，平移量是函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计，还是函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计，为什么？

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计

【设计意图】这部分内容是本堂课的难点，突破的方法先是从直观的“形”上“粉碎”了学生错误的直觉，使学生“一惊”！渴望知道各种原因使他们积极探寻，当最终发现可以用已有的知识来解释时，又让他们“一喜”，这“形”中的直观和“数”中的严谨，让学生在“一惊一喜”中达到一悟皆通的效果。

学生总结第二种变换的规律：

把y=sinωx的图象上的所有的点向左

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计或

向右函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计平行移动函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计个单位长度，得到y=sin(ωx+φ)的图象。

对比两种变换过程说明：先相位变换后周期变换平移函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计个单位长度。先周期变换后相位变换平移函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计个单位长度。

【设计意图】使学生由正弦曲线变化得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的不同方案有一个整体的认识，并在掌握图象变化实质的基础上，择优选择。

Ⅲ、探索函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计对函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像的影响。

问题7：类似的，你能讨论一下参数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计对函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像的影响吗？

【设计意图】学生作出A取不同值时，函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像，并概括A对函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像的影响的规律。此类图象在前面学生已经作过，难度不大，在总结规律的时候，教师可借助几何画板作图动态演示变换过程，学生观察变换过程中的变量和不变量，总结规律。注意语言描述的严密性，强调每一点的横坐标不变的情况下纵坐标变为原来的A倍。

问题8：通过上述问题的讨论与研究，如何由正弦曲线通过图像变换得到函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像

？

图像变换规律总结：

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像可由函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图像经过如下变换得到：

方法一：

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计

方法二：

函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计

【设计意图】组织学生进行讨论，学生通过自己作图，教师几何画板演示，进一步认识有函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计经图象变换得到函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的方法，并体会有简单到复杂、特殊到一般的化归思想。

（三）、知识应用：

应用一：作出下列函数在一个周期内的简图，并说明其图象是由函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计图象如何变换得到的：

（1）函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计 （2）函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计 （3）函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计

应用二：画出函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的简图，并说明如何由函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计图象如何变换得到的。

【设计意图】用“五点法”作函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象并从图象变换的角度认识函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计与函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的关系。

（四）、总结归纳，掌握规律

问题1：怎样由函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ) 函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象？

问题2：本节讨论问题的数学思想方法是什么？

【设计意图】引导学生对所学的知识、数学思想方法进行小结，并对学生的学习过程进行反思，为今后的学习进行有效调控打下坚实的基础。

（五）、课堂检测：

1、选择题：已知函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象为C. (1)为了得到函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象，只要把C上所有的点（ ）

（A）向右平行移动函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计个单位长度 (B) 向左平行移动函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计个单位长度

（C）向右平行移动函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计个单位长度 (D) 向左平行移动函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计个单位长度

(2) 为了得到函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象，只要把C上所有的点（ ）

（A）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (B) 横坐标伸长缩短到原来的函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计倍，纵坐标不变

（C）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 (D) 纵坐标伸长缩短到原来的函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计倍，横坐标不变

（3）为了得到函数函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计的图象，只要把C上所有的点（ ）

（A）横坐标伸长到原来的函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计倍，纵坐标不变 (B) 横坐标伸长缩短到原来的函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计倍，纵坐标不变

（C）纵坐标伸长到原来的函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计倍，横坐标不变 (D) 纵坐标伸长缩短到原来的函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计倍，横坐标不变函数y＝Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象教学设计

【设计意图】课堂检测是对本节课重点和难点知识的应用和巩固，通过学生的回答,可了解学生对于函数图像变换的“形”、“数”思维的形成过程是否得到落实。

（六）、布置作业：

1.必做作业：习题1.5 A组1、2 2.选做作业：习题1.5B组1、2 【设计意图】布置作业有梯度，避免一刀切，使学有余力的学生进一步训练逆向思维，使知识掌握更加深刻

（七）、板书设计