小结优质课教案整理

必修4 第二章

平面向量的小结

一、教学目标

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|+|b|)=|a－b|+|a+b|. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、知识与方法

向量知识，向量观点在数学,物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

三、典型例题

例1.对于任意非零向量a与b，求证：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜

证明：(1)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且｜2222a｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜

(3)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a.b相同且｜a+b｜=｜a｜＋｜b｜.②a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|＞|b|，则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立。

例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c，

且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c

i

j

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，

c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

例3.下面5个命题：①|a·|b|②(a·b|=|a|·b)=a·b222③a⊥(b－c)，则a·c=b·c

④a·b=0，则|a+b|=|a－b|⑤a·b=0，则a=0或b=0，其中真命题是（

）

A①②⑤

B ③④

C①③

D②④⑤

三、巩固训练

1.下面5个命题中正确的有（

）

①a=ba·

②a·③a·（b+c）=a·

④c=b·c；c=b·ca=b；c+b·c；（b·c）=（a·b）·c；

⑤a·aba2ab. A..①②⑤

B.①③⑤

C. ②③④

D. ①③

2.下列命题中，正确命题的个数为（

）

①若a与b是非零向量

，且a与b共线时，则a与b必与a或b中之一方向相同；②若e为单位向量，且a∥e则a=|a|e

③a·a·a=|a|

④若a与b共线，a与c共线，则c与3b共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有AC+BD=BC+AD

A 1 B 2 C 3 D 4 3.下列5个命题中正确的是

①对于实数p,q和向量a,若pa=qa则p=q②对于向量a与b，若|a|a=|b|b则a=b③对于两个单位向量a与b，若|a+b|=2则a=b④对于两个单位向量a与b，若ka=b，则a=b

4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。