2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案设计

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

教学设计

一、教学分析

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj. 于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想. 二、教学目标

1、知识与技能：

理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握平面向量正交分解及其坐标表示。

2、过程与方法：

初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。

3、情感态度与价值观：

通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

三、重点难点

教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 四、教学设想

（一）复习引入

平面向量基本定理: 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一. （二）导入新课

思路：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量

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中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢? （二）推进新课、新知探究、提出问题

活动1:定义

如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b. 由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形. 在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便. 活动2:

提出问题

①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢? ②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？

图3 讨论:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得

a=xｉ+yj①

这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作

a=(x,y)②

其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点: (1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应. (2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,A1B1是表示a的有向线段,A1、B1的坐标

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分别为(x1,y1)、(x2,y2),则向量a的坐标为x=x2-x1,y=y2-y1,即a的坐标为(x2-x1,y2-y1). (3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标,流程表示如下:

讨论结果:①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y). ②是一一对应的. （三）应用示例

例1平面向量的坐标表示

(1)如图，若|i||j|1，以向量、ij为基底表示向量a

y

a2i3j

即：a（2,3）4

B(2) 如图，平面内有A、B两点，

能否用坐标来表示向量AB

呢？ABOBOA（4i4j）(2i1j)(42)i(41)j2i3j

即：AB（2,3）

321jCaAxOi1234

例2 如图,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标. 活动:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标. 解:由图可知,a=AA1+AA2=xi+yj, ∴a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3). 点评:本例还可以得到启示,要充分

运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.

随堂训练

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1、a=4,6,且a=2b,那么b的坐标是(

)

A、(3,2) B、(2,3) C、(-3,-2) D、(-2,-3)

2、若向量a=x-2,3与向量b=1,y+2相等，那么（ ）A、x=1,y=3 B、x=3,y=1 C、x=1,y=-3 D、x=5,y=-1 3、已知AB=x,y

，点B的坐标为（-2,1）,那么OA的坐标为( )

A、(x-2,y+1) B、(x+2,y-1) C、(-2-x,1-y) D、(x+2,y+1) 4、若向量a=1, 1,b=1, -1,c=-1, 2,那么c等于（

）

13133131A、-a+b B、a-b C、a-b D、-a+b

222222225、已知a=3,-1,b=-1,2,那么-3a-2b等于（

）

A、-1 C、-1

7,1 B、-7，-7,1 D、7，6、已知点B是(m,n)，AB的坐标为(i,j),则点A的坐标为( ) A、(m-i,n-j) B、(i-m,j-n) C、(m+i,n+j) D、(m+n,i+j) 答案：B B C B B A （四）知能训练

1.已知G为△ABC的重心,设AB=a,AC=b,试用a、b表示向量AG. 2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中A(1,2),B(3,2),求x. 解答: 1.如图,AG=2AD, 3而ADABBDAB1111BCa+(b-a)=a+b, 2222∴AG22AD(1a+1b)=1a+1b. 332233点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB=(2,0). ∵a=AB,∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0). x32,x1,∴2解得∴x=-1. x1或x4.x3x40点评:先将向量AB用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问

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题得到解决. （五）课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图. （六）作业

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