2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案2

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

模式与自学指导 讲练结合

方法

教学目（1）理解平面向量的坐标的概念；

的

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

重点

平面向量的坐标运算

难点

向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

教学内容

师生活动及时间分配

复习引教学过程：

入

一、复习引入：

教师引导学生复习

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面

内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e

新课引1+

入

λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一

平面内所有向量的一组基底；

限时看书5~

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、回答师的问题

ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是

被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、

y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任

1

作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只

有一对实数x、y，使得

axiyj

…………○1○1

我们把(x,y)

叫做向量a的（直

角）坐标，记作

a(x,y)

…………○2

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在

y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相．

等的向量的坐标也为．．．．．．．．．(x,y).

特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点

作OAa，则点A的位置由a唯一确定.

设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点师导学生讨论结果:①平面

内的任一向量a都可由x、yA的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向

唯一确定,我们把有序数对

量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一(x,y)叫做向量a的坐标,

个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 记作a=(x,y).

②是一一对应的. 例题讲解

例1 如图,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、

d,并求出它们的坐标.

教师引导学生利用平面向

量基本定理进行分解,让学

生自己动手、动脑.教师可

2

以让学生到黑板上板书步

骤,并对书写认真且正确的

同学提出表扬,对不能写出

完整解题过程的同学给予

提示和鼓励.

本例要求用基底i、j表示

2．平面向量的坐标运算

a、b、c、d,其关键是把a、

（1）

若

a(xb、c、d表示为基底i、j1,y1)，b(x2,y2)，则的线性组合.一种方法是把

ab(x1x2,y1y2)，

a正交分解,看a在x轴、y

ab(x1x2,y1y2)

轴上的分向量的大小.把向

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应量a用i、j表示出来,进而

坐标的和与差. 得到向量a的坐标.另一种

设基底为i、j，则方法是把向量a移到坐标原

ab(x1iy1j)(x2iy2j)点,则向量a终点的坐标就

(x1x2)i(y1y2)j

是向量a的坐标.同样的方

法,可以得到向量b、c、d即ab(x1x2,y1y2)，同理可得

的坐标.另外,本例还可以

ab(x1x2,y1y2)

通过四个向量之间位置的

（2）

若A(x几何关系:a与b关于y轴对

1,y1)，B(x2,y2)，则称,a与c关于坐标原点中

ABx2x1,y2y1

心对称,a与d关于x轴对称

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终等.由一个向量的坐标推导

点坐标减去始点的坐标.

出其他三个向量的坐标.

AB=OBOA=( x2，

y2) 

(x1，y1)= (x2

x1， y2

y1)

（3）若a(x,y)和实数，则

a(x,y).

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向

3

量的相应坐标.

设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，

即

a(x,y)

三、讲解

范例：

例1 已知

A(x

1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标.

例2 已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，

a-b，3a+4b的坐标.

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这

四点构成平行四边形四个顶点.

解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得

D1=(2， 2)

当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当

平行四边形为DACB时，得D

3=(6， 0) 课堂检四、课堂练习：

测

1．若M(3，

-2) N(-5，

-1) 且

MP1

2MN， 求P点的坐标

2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，

则AB2BC= .

3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1，

3)， D(5， -3) ，

求证：四边形ABCD是梯形.

五、课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量

课堂小的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量

结

的正交分解,平面向量的坐标表示.

4

2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如

待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何

作图. 学生独立完成8~

六、作业

课本习题2.3 A组1.

5