2.5.2 向量在物理中的应用举例课堂实录【1】

2.5.2 向量在物理中的应用举例

[导入新知]

1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

2．向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．

(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．

(3)动量mv是向量的数乘运算．

(4)功是力F与位移s的数量积．

[化解疑难]

向量法在平面几何中的应用

用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：

(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；

(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．

一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．

平面向量的应用

平面几何中的垂直问题

[例1]

如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. [证明]

法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0

则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a，

1

EF＝(DA＋AP)·∴DP―→·(EP＋PF) ＝DA·EP＋DA·PF＋AP·EP＋AP·PF

＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋2a×a×cos 45°＋2a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. ∴DP―→⊥EF，

即DP⊥EF. 法二：设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，

则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，

所以DP＝(x，x－1)，EF＝(1－x，x)，

EF＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，

由于DP·所以DP⊥EF，

即DP⊥EF. [类题通法]

利用向量解决垂直问题

对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．

[活学活用]

如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，

BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．

证明：设AB＝a，AD＝b，

11则AF＝a＋b，ED＝b－a，

2211a＋b·ED＝∴AF·2b－2a

113＝b2－a2＋a·b. 224又AB⊥AD，且|AB|＝|AD|，

∴a2＝b2，a·b＝0，

ED＝0，∴AF⊥ED，

∴AF·即AF⊥DE.

2 平面几何中的长度问题

[例2]

已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. 1(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；

2(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．

[解]

(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．

∵D为AB的中点，

nm∴D2，2，

1∴|CD|＝

2n2＋m2，|AB|＝m2＋n2，

1∴|CD|＝|AB|，

21即CD＝AB. 2(2)∵E为CD的中点，

nm∴E4，4，

n3，－m，AF＝(x，－m)．

设F(x,0)，则AE＝44∵A，E，F三点共线，

∴AF＝λAE. n3，－m. 即(x，－m)＝λ44x＝4λ，则3－m＝－mλ，4n∴F3，0

1∴|AF|＝

3[类题通法]

n

4n故λ＝，即x＝，

331n2＋9m2，即AF＝

3n2＋9m2. 利用向量法解决长度问题

向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.

3

[活学活用]

如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，

对角线BD＝2，求对角线AC的长．

解：设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b，

而|BD|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，

1∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|AC|2＝6，即AC＝6.

向量在物理中的应用

[例3]

在水流速度为43 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．

[解]

如图所示，设AB表示水流速度，AC表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB为一边，AC为一对角线作▱ABCD，则AD就是船的航行速度．

∵|AB|＝43，|AC|＝12，

∴|AD|＝|BC|＝83，

433∴tan ∠ACB＝＝，

123∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°. 即船的航行速度的大小为83 km/h，方向与水流方向的夹角为120°. [类题通法]

利用向量法解决物理问题的步骤

(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；

(2)建立以向量为主体的数学模型；

(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；

(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．

[活学活用]

已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02 的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)

4

解：如图所示，设木块的位移为s，则

WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×3＝5003(J)．

2将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为

1|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，

2所以摩擦力f的大小为

|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，

因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°

＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．

即F和f所做的功分别为5003 J和－22 J.

8.平面向量中的三角形“四心”问题

[典例]

已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．

[解析]

由原等式得OP－OA＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．

[答案]

重

[多维探究]

探求动点轨迹经过某点，只要确定其轨迹与三角形中的哪些特殊线段所在直线重合即可．上面典例就是利用向量探究三角形的重心问题，另外与三角形的内心、外心、垂心有关的问题也是各类考试常涉及的问题．

[活学活用]

1．若动点P满足OP＝OA＋λ△ABC的________心．

解析：由条件可得，错误！未定义书签。－OA＝λABAC＋，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过AB||AC||ABACACAB＋＋分，而|AB||AC||AB||AC|别表示平行于AB，AC的单位向量，知＋平分∠BAC，即AP平分∠BAC，所以|AB||AC|

5 ABAC

点P的轨迹必过△ABC的内心．

答案：内

2．若动点P满足OP＝OA＋λ轨迹一定通过△ABC的________心．

解析：由条件可得，

ACAB＋，λ∈(0，＋∞)，则动点P的||cos BAB||cos CACABAC＋AP＝λ

||cos BAB||cos CACAB·AC·BCBC＋从而AP·BC＝λ

AB||cos B||cos CAC|AB|·|BC|cos180°－B|AC|·|BC|cos C＝λ·＋λ＝0. |AB|cos B|AC|cos C∴AP⊥BC. ∴动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．

答案：垂

3．若动点P满足OP＝OB＋OC2＋λACAB＋，λ∈(0，＋∞), 则动点|AB|cos B|AC|cos CP的轨迹一定通过△ABC的________心．

解析：由条件可得，

OP－即OB＋OC2＝λ＝λACAB＋，

|AB|cos B|AC|cos CBP＋CP2ACAB＋

AB||cos B||cos CAC∴BP＋CP2AB·AC·BCBC＋·BC＝λ＝0，

AB||cos B||cos CAC·(BP－CP)＝0，

即BP＋CP2得BP2＝CP2，故|BP|＝|CP|，

∴动点P的轨迹一定过△ABC的外心．

答案：外

[随堂即时演练]

6

1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(

) A．v1－v2

C．|v1|－|v2|

B．v1＋v2

v1D.v

2解析：选B

由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．

2.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则AO·BC等于(

) 3A.

2C．2

5B.

2D．3 解析：选B

AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB，

BC＝AO·1因为OA＝OB，所以AO在AB上的投影为|AB|，

21所以AO·AB＝|AB|·|AB|＝2，

219同理AO·AC＝|AC|·|AC|＝，

2295故AO·BC＝2－2＝2. 3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________. 解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AC＋CD|＝|AD|＝2. 答案：2 4．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s. 解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所1示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos 60°＝10×2＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s. 答案：5 5.已知平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且1AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．

4证明：设AD＝a，AB＝b，

113则DE＝AE－AD＝AC－a＝b－a，

444

7

FB＝AB－AF＝b－4AC＝4b－4a，

所以DE＝FB，且D、E、F、B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．

313

8