2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计实例

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目的：

1.掌握平面向量数量积运算规律；

2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量数量积（内积）的定义：

2．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1

ea = ae =|a|cos；

2

ab



ab = 0 3

当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或|a|aa

4cos =3．练习：

ab

；

5|ab| ≤ |a||b| |a||b|（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（

）

A.60°

B.30°

C.135°

D.４５°

（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（

）

3A.2

B.23

C.6

D.12 二、讲解新课：

探究：已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，怎样用a和b的坐标表示ab？. 1、平面两向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即abx1x2y1y2

2. 平面内两点间的距离公式

（1）设a(x,y)，则|a|xy或|a|222x2y2. （2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，

那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式) 3．

向量垂直的判定

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab

x1x2y1y20

4．

两向量夹角的余弦（0）

cos =ab|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y222

二、讲解范例：

例1 已知A(1，

2)，B(2，

3)，C(2，

5)，试判断△ABC的形状，并给出证明. 例2

设a = (5，

7)，b = (6，

4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o) 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3

已知a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１），则a与b的夹角是多少? 分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１）

有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２2．

记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝ab2

又∵０≤θ≤π，∴θ＝

ab24评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 三、课堂练习：1、P107面1、2、3题

2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-四、小结：

1、abx1x2y1y2

2、平面内两点间的距离公式

|a|3、向量垂直的判定：

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab

x1x2y1y20

五、课后作业：《习案》作业二十四。

思考：

1、如图，以原点和A(5，

2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量AB的坐标.

1)在线段AB的中垂线上，则x=

. 2(x1x2)2(y1y2)2

解：设B点坐标(x，

y)，则OB= (x，

y)，AB= (x5，

y2) ∵OBAB

∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2

5x

 2y = 0 又∵|OB| = |AB|

∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29 73xxxy5x2y02212或由

3710x4y29y1y22222∴B点坐标(,)或(,)；AB=(723237223773,)或(,)

22222 在△ABC中，AB=(2，

3)，AC=(1，

k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值. 解：当A = 90时，ABAC= 0，∴2×1 +3×k = 0

∴k =3

2当B = 90时，ABBC= 0，BC=ACAB= (12，

k3) = (1，

k3) ∴2×(1) +3×(k3) = 0

∴k =11

3当C = 90时，ACBC= 0，∴1 + k(k3) = 0

∴k =

313

2