2.1.2 向量的几何表示设计意图

一、教材内容分析

向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用.本节课是向量线性运算的第一节，向量加法是向量减法及向量数乘运算的一个重要基础.学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习. 二、教学目标

1.通过实例,掌握向量加法的运算,并理解其几何意义. 2.通过经历向量加法概念、法则的建构过程，感受将实际问题抽象为数学概念的过程, 并初步感受平面向量有力的工具作用,体会数形结合、分类讨论等重要数学思想方法，进一步培养学生发现问题、分析问题、解决问题等认识客观事物的数学本质的能力和素养．

3.经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生不怕困难、勇于探索和创新的个性品质和优良作风，增强学生“数学源于实践、用于实践”

- 1 -

的应用意识.通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度. 三、重点、难点

重点：向量加法的运算（三角形法则、平行四边形法则）及其几何意义. 难点：对向量加法法则的理解. 四、教学方法

类比数的运算，结合向量运算深刻的物理背景和几何意义，采用“启发探究”式教学方法．

五、教具

多媒体辅助、粉笔、黑板、《导学练习》题签、三角板、圆规等. 六、教学过程

一、设置情景：

1、

提问 1+1=？复习向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.我们研究的向量是与起点无关的自由向量。向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．Ⅲ．类比猜想 探究性质

加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？ C

- 2 - B A

2.物理情景设置探究

某人从北京南站A乘公交到鸟巢C，

或从A乘地铁先到B再到C，则两次的位移和：ABBCAC引导学生结合有关物理知识得出三角形法则,和平行四边形法则

力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）

二、抽象概括

形成定义

1.建立数学模型

若记OAa,ABb则向量OB叫做向量a与b的和，记为abOAABOB

．

A

B

C 如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？——ABBOAO

，即向量AO为向量AB与BO的和

2.抽象数学概念

由此，你们能概括出一般的两个向量a与b和的定义吗？

学生活动：在平面内任取一点O，平移a使其起点为点O，平移b使其起点与a向量的终点重合，再连接向量a的起点与向量b的终点．

（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；

（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合；

- 3 -

（3）和向量又是什么？——连接向量a的起点与向量b的终点，并指向b的终点，得到的向量OB即为向量a与b的和；

（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义

．

已知向量a,b，在平面内任取一点O，作OAa,ABb，则向量OB叫做向量a,b的和．记作：ab．即abOAABOB． 用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连．

还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则．

平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点． 两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况灵活地选择．

三、尝试运用法则

例⒈课本81页

练习1、如图，已知a、b，用向量加法的三角形法则作出⑴-⑷中的ab；用向量加法的平行四边形法则作出⑸-⑹中的ab. ⑴

⑵

b

b

a

- 4 -

a

a

b

b

b

a

a

通过练习得结合率，交换律的验证让学生通过画图自己验证。师生借助于多媒体共同完成． 研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．

四、数学运用 深化认识

练习⒉如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，作出下列向量：

⑴A1A2A2A3A3A4 ⑵A1A2A2A3A3A4A4A5A5A6

推广1：A1A2A2A3A3A4推广2：A1A2A2A3A3A4An1An

An1AnAnA1 A6A5OA4A3A1A23.化简：（请写出基本过程．）

(1)ABBCCA = (2)(ABMB)BOOM

- 5 -

(3)OAOCBOCO

例2．长江两岸之间大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸Ａ点出发，以23ｋｍ／ｈ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2ｋｍ／ｈ．

（１）

试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

（２）

求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示). 分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设AB表示水流速度，AD表示游艇的速度，那谁是游艇的实际速度？AC，三个向量应满足什么关系？ACABAD．

D

C

A

B

解：如图，设AB表示水流速度，AD表示游艇的速度，AC表示游艇的实际速度，因为ACABAD，所以四边形ABCD为平行四边形．

在RtABC中,|AB|2,|BC|23,所以

|AC||AB|2|BC|222(23)24因为tanCAB|BC|3

|AB|所以CAB60答：略.变式:在RtACD中，

ACD90

|DC||AB|12.5，

|AD|25，所以CAD300

- 6 -

答 若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，其航向应为北偏西300．

回顾反思 拓展延伸 五、课时小结：

1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？

知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律． 留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？

本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，最后应用到生活实践中去．再一次告诉我们，数学源于生活，又服务于生活．

课堂小结：

向量加法的运算

三角形法则

平行四边形法则

向量加法的运算律

ACDB

2、分类讨论、数形结合.

3.拓展延伸：

六、（1）作业： 1、

第91页A组第2题；2、第91页B组第1

- 7 -

题.

（2）选作题:用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

七、板书设计

八、（选用）视频播放：突出向量加法在生活中的意义，同时对学生进行爱国主义教育。

九、教学设计流程图

1+1=？

课题

鸟巢

三角形法则

课本84

第3题

平行四边

形

动作分解例1作图作图练习

及总结

及共线

- 8 -

B

教后记：通过本节课教学，可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法，能够视具体情况灵活地作出两个或者多个向量的和；能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题；并能运用向量的加法法则解决了一些实际问题

3化简

例2 小结及作业

运算率

84页题4及补充

用例1结果得绝对

- 9 -