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勾股定理全章复习与习题训练

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2b2c2）

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为n的线段. 要点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c，满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；

（2）验证c2与a2b2是否具有相等关系，若a2b2c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程x2y2z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5；

②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为a、b、c，且abc，那么存在a2bc成立.（例如④中存在72=24＋25、92=40＋41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关

. 【典型例题】

知识点一、勾股定理及应用

例１：在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=3,b=4，则c=

；

2.如图，

∠C=∠ABD=90°，AC=4，

BC=3，BD=12，

则AD的长为______．

知识点二、勾股定理的逆定理

(1)a，b，c的值．

(2)试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？

知识点三

勾股数

请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、_______；

（2）10、26、_____ （3）

7、

_____ 、25

本章中的数学思想方法

专题一

分类的思想方法：

1.直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道时，应分类讨论。

2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。

例1

.已知:直角三角形的三边长分别是

3,4,X,则X=

2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC

专题二

方程思想

中的等量关系直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题，利用勾股定理列方程。

1.小东拿着一根长竹竿进一个宽为３米的城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高１米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少？

2、在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？

专题三

折叠

折叠和轴对称密不可分，利用折叠前后图形全等，找到对应边、对应角相等便可顺利解决折叠问题

例1、

如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

例2：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,

BC=10,求

1.

CF 的长

2.

EC.的长

专题四

展开思想

1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。

2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。

例1:看课件,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(

取3）是(

)

A.20cm

B.10cm

C.14cm

D.无法确定

2、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且CD=3km．

（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由．

（2）求出（1）中的最短路程．

专题五

截面中的勾股定理

1，

几何体的内部路径最值的问题，一般画出几何体截面

例1

小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？

练习：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？