探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学实录与评析

板块二.三角函数的图像

与性质

典例分析

题型一：三角函数的单调性与值域

【例1】

函数y1(x)的值域是（

）

tanx44A [1,1]

B (,1)(1,)

C (,1]

D [1,)

【例2】

利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小：

（1）tan(138)与tan125；（2）tan(

【例3】

函数ycos(sinx)的值域为_______ 【例4】

若函数yabcosx的最大值是1612)与tan()。

3531，最小值是，求函数y4asinbx的最大22值与最小值及周期。

【例5】

函数y12sinx的值域是（

）。

A

[2,1]

B

[1,3]

C

[0,1]

D

[2,2]

【例6】

下列说法①sin1sin2②sin2cos2③sin4cos4④sin1913cos()，其中1010正确的是（

）

A

①②

B

①③

C

②③

D

③④

【例7】

根据正弦函数的图像得使不等式22sinx0,xR成立的x的取值集合为（

）

33,]

B [,]

4444332k,2k]

D [2k,2k]

C [4444A [大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com

【例8】

比较大小：sin510___________sin142；cos750___________cos(760)。

【例9】

函数y3sin(3x),x[,]的单调递增区间是_________。

622

【例10】

利用图像解不等式tan(x)3。

6

【例11】

比较tan3与tan8的大小。

36363无最大值，则＝__________.

π【例13】

函数ysinx在区间[0，t]上恰好取得最大值，则实数t的取值范围3是

.

【例14】

设函数f(x)2sin(x),若对任意xR,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则【例12】

已知f(x)sinx(0)，ff，且f(x)在区间，有最小值，π2π5x1x2的最小值(

) A.4

B.2

C.1

D.【例15】

求下列不等式x的取值范围. 1

2⑴2sinx1≥0；

π⑵2cos(3x)1≤0. 6

10)，a1cos(sinπx)，a2sin(cosπx),a3cosπ(x1),比较a1，【例16】

设x(，a2，a3的2大小.

【例17】

求使cosx1a有意义的a的取值范围. 1a

sec2xtanx【例18】

求函数y2的值域. secxtanx

2sinx1【例19】

求函数y的值域. 2sinx1大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com

【例20】

函数yasinx1的最大值是3，则它的最小值_____________________. 【例21】

设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图像的一条对称轴是直线x8，（1）求；（2）求函数yf(x)的单调增区间。

题型二：三角函数的周期与对称

【例22】

求下列三角函数的周期：（1）ysin(x)；（2）y3sin()。

3x25

【例23】

函数y2sin(4x)的最小正周期是（

）。

3

A



B

2

C



D

4

2

【例24】

函数ysin(2x

A

x5)图像的一条对称轴方程是（

）

24

B

x2

C

x8

D

x5

4

【例25】

如果函数y3cos2x的图象关于点4π，0中心对称，那么的最小值为3

D．（

）

A．

【例26】

函数f(x)π

6

B．π

4

C．π

3π

2Asin(xA),(0的部分图象如下图所示，则f(1)f(2)f(3)…f(11)

226yO-223x

【例27】

函数ytan(ax)(a0)的最小正周期为（

）。

4大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com

A

22

B

C

D

|a||a|aa

【例28】

下列函数中，不是奇函数的是（

）

A ysinxtanx

B yxtanx1

C ysinxtanxtanx

D ylg

1cosx1tanx

【例29】

若函数y2tan(2ax)(a0)的最小正周期是3，则a___________。

6

【例30】

求函数ytan(3x)的周期和单调区间。

4

【例31】

求函数ysinx(1tanx

【例32】

已知函数f(x)sin(2x)1cosx)的最小正周期。

sinx1265，

4（1）求f(x)的最小正周期及单调区间；

（2）求f(x)的图像的对称轴和对称中心。

【例33】

已知函数f(x)2sinx，xR，若有10个互不相等的正数xi满足2π6f(xi)2，且xi10π(i1,2,3,10)，求x1x2x10的值

【例34】

设函数f(x)的图象与直线xa，xb及x轴围成图形的面积称为函数f(x)在2π[a,b]上的面积，已知函数ysinnx在0,上的面积为(nN)，

nnyS1S4S2S3Ox

2π⑴ysin3x在0,上的面积为

；

3π4π⑵ysin(3xπ)1在,上的面积为

．

33大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com

【例35】

设f(x)是定义在R上且最小正周期为

3π的函数，在某一周期内，2πcos2x,≤x0,

则f(x)20≤xπ,sinx,

15πf=

. 4【例36】

定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x[0,π5π]时，f(x)sinx，则f()的值为（

）

23A.



B.

123

2C.31

D.

22【例37】

函数f(x)cos(3x)，xR的图象关于原点中心对称，则（

）

Ａ.

π

3

Ｂ.kππ，kZ

2Ｃ.kπ，kZ πＤ.2kπ，kZ

2

【例38】

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f(xT)Tf(x)成立. ⑴函数f(x)x是否属于集合M.说明理由. ⑵设函数f(x)ax(a0且a1)的图象与yx的图象有公共点，证明f(x)axM

⑶若函数f(x)sinkxM，求实数k的取值范围.

【例39】

若函数f(x)2cos(2x)对任意实数x都有f(x)f(x)．

66（１）

求f()的值；

6（２）

求的最小正值；

（３）

当取最小正值时，求f(x)在,上的最大值和最小值．

66

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【例40】

求f(x)(sinx)2008(cosx)2007的最小正周期

【例41】

设f(x)sinx(k0)

πk35⑴求当k3时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．

⑵求最小正整数k，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M和最小值m．

【例42】

求函数f(x)5sinx5cosx的最小正周期

3223

题型三：三角函数的平移伸缩变换

【例43】

将函数ysinx的图像上所有的点向右平行称动π个单位长度，再把所得各点10的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

π

10π1C．ysinx

210A．ysin2x

π5π1D．ysinx

210B．ysin2x

【例44】

要得到函数y2cosx的图象，只需将函数y2sin(2x)的图象上所有的4点的（

）

1A

横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度

281B

横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度

24个单位长度

4D

横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度

8C

横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动

【例45】

已知函数fxAsin(x)（A0，0，2）的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为x0,2和x03,2．

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（1）求fx的解析式；

1（2）将yfx图象上所有点的横坐标缩短到原来的，（纵坐标不变），然后3再将所得图象沿x轴正方向平移个单位，得到函数ygx的图象．写出函3数ygx的解析式并用“五点法”画出ygx在长度为一个周期的闭区间上的图象．

【例46】

画出函数y3sin(2x),xR的简图，并说明此函数图形怎样由ysinx的图3像变化而来。

【例47】

把函数ysin(2x)的图像向左平移4个单位长度，再将横坐标压缩到原来的81，所得函数的解析式为（

）。

2A

ysin4x

B

ycos4x

C

ysin(4x)

8

D

ysin(4x32)

【例48】

要得到ycos(2x)的图像，只需将ysin2x的图像（

）

4个单位

8C 向左平移个单位

4A 向左平移

【例49】

把函数ycos(x

个单位

8D 向右平移个单位

4B 向右平移4)的图像向右平移个单位，所得到的图像正好关于y轴对3称，则的最小正值是___________。

【例50】

已知函数fxsinxxR，0的最小正周期为π，为了得到函数π4gxcosx的图象，只要将yfx的图象（

）

π个单位长度

8πC．向左平移个单位长度

4

A．向左平移

π个单位长度

8πD．向右平移个单位长度

4B．向右平移大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com

【例51】

设0，函数ysinx2的图像向右平移π34π个单位后与原图像重合，3则的最小值是

24A．

B．

33

3C．

2

D．3

【例52】

为了得到函数ysin2x的图像，只需把函数ysin2x的图像

π3π6ππA．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位

44ππC．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位

22

【例53】

试述如何由ysin2x133的图象得到ysinx的图象。

【例54】

已知函数f(x)a2bsinx(a，bZ)，当x0，时，f(x)的最大值为π4π2221．

⑴求f(x)的解析式；

⑵由f(x)的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数yg(x)的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．

π【例55】

把曲线C:y2sin2x向右平移a(a0)个单位，得到的曲线G关于直线4πx对称.求a的最小值. 4

题型四：三角函数基本定义

【例56】

函数ytan(x)的定义域是（

）。

4A{x|x43k,kZ}

C{x|x4

,xR}

B{x|x,xR}

4D{x|x4k,kZ}

【例57】

函数y5tan(6x)2的定义域是_________。

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【例58】

下列说法正确的是（

）

A

正切函数在整个定义域内是增函数

B

正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成

C

若x是第一象限角，则sinx是增函数

D

函数y2tanx2的图像关于y轴对称

【例59】

已知函数yAsin(x)(A0,0)的最大值是2，最小正周期是2，初相5，则这个函数的表达式是（

）。

4

Ay2sin(5x)

By2sin(5x)

44

Cy2sin(5x)

Dy2sin(5x)

2020是

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