2.5.2 向量在物理中的应用举例教学设计思路

平面向量的数量积

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

1掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.

2平面向量数量积的应用.

一、平面向量数量积的物理背景及定义：

以物理学中的做功为背景引入

问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？

力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

1、两个非零向量夹角的概念：

b

a已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角

说明：

（1）当θ＝０时，a与b同向；

（2）当θ＝π时，a与b反向；

（3）当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；

2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180

1

C

2、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0

3、两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

①ea = ae =|a|cos

②ab

ab = 0 ③

aa = |a|或|a|2aa

④cos =ab

|a||b|⑤|ab| ≤ |a||b| 4、向量数量积满足的运算率：

①abba；

②(ab)cacbc；

③(ab)(a)ba(b)

二、向量数量积的坐标运算

1、已知两个向量a(x1,y1)，b(x2,y2),则abx1x2y1y2. 2、设a(x,y)，则|a|. 3、平面内两点间的距离公式

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为

(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|. 4、向量垂直的判定

两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y20

. abx1x2y1y25、两向量夹角的余弦

cos =（0）. 2222|a||b|xyxy1122

2

6、向量在轴上的正射影：

作图

定义：|b|cos叫做向量b在a所在轴上的正射影

正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时正射影为|b|；当 = 180时正射影为|b|

类型一、平面向量数量积的运算：

例题1

已知下列命题: ①a(a)0;

②(ab)ca(bc);

③(ab)ca(bc);

④(ab)cacbc

其中正确命题序号是

②、④

. 点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.

例题2

已知a2,b5,若(1)a||b; (2) ab;(3) a与b的夹角为30,分别求ab. 解(1)当

a||b时, ab=abcos025110或ab=abcos18025(1)10.

(2)当ab时, ab=abcos902500. 0000

(3)当a与b的夹角为30时, ab=abcos302500353. 2

练习：已知a(cos230,cos670),b(cos680,cos220),求ab

解:abcos23cos68cos67cos22= cos23sin22sin23cos22sin45

点评:

熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整. 类型二、夹角问题：

例题3

(2005年北京)若a1,b2,cab,且ca,则向量a与向量b的夹角为

(

)

A. 30

B. 60

C. 120

D. 150

000000000002

200s

1200

故选C 解:依题意a(ab)0aabcos0

co练习：①

已知a2,b3,ab2127,求向量a与向量b的夹角. 3

②

已知a(1,2),b(4,2),a与(ab)夹角为,则cos

. 解: ①

ab7

a2abb7

cosa,b22abab31,故夹角为600. 232

②依题意得(ab)(3,4)cosa(ab)aab385. 555练习:已知a,b是两个非零向量,同时满足abab,求a与ab的夹角. 法一

解:将abab两边平方得

ab22221212ab, aba2abb3a

2212aaa(ab)aab30

则cos, 故a与ab的夹角.为30. 2222aabaaba3a法二: 数形结合

点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.

类型三、向量模的问题

例题4 已知向量a,b满足a6,b4,且a与b的夹角为60,求ab和a3b. 解: 0a6,b4,且a与b的夹角为600

ab12

aba2abb76219

; a3ba6ab9b10863.

练习

: ①(2005年湖北)已知向量a(2,2),b(5,k),若ab不超过5,则k的取值范围

(

) A. [4,6]

B.

[6,4]

C. [6,2]

D. [2,6]

②(2006年福建) 已知a与b的夹角为120,a3,ab13

,则b

等于(

)

A

5

B. 4

C. 3

D. 1 解: ①

②02222ab(3,k2)(k2)295,6k2

故选C aba2abb, a2abcos120b13,解得b4,故选B 22222202点评:涉及向量模的问题一般利用aaaa,注意两边平方是常用的方法.

类型四、平面向量数量积的综合应用

例题5 (2006年全国卷)已知向量a(sin,1),b(1,cos),(1)

若ab,求

;

(2)求ab的最大值

. 22. 4

解:(1)若ab,则sincos0,tan1,(2222)4.

(2) ab=(sin1)(1cos)32(sincos)=322sin(4)

22,4432,

sin()(,1]

442

当4时,ab的最大值为322(21)221. 例题6已知向量a(cos,sin),b(cos,sin),且a,b满足kab3akb,kR

(1)

求证(ab)(ab)

;

(2)将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k); (3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时向量a与向量b的夹角. 解:(1)

a(cos,sin),b(cos,sin)

22(ab)(ab)ab|a|2|b|2110,

故

(ab)(ab)

(2) kab3akb, 2222kab3akb,又ab1k22kab136kab3k2,

k21k21ab,(k0)

故f(k),(k0). 4k4k1k21k1k11

(3) f(k)2,此时当k1,f(k)最小值为. 24k44k44k2

cos

一、选择题

1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(

) A．a＝b

B．a≠b

C．|a|＝|b| D．a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等

[答案]

D 5

abab1,量a与向量b的夹角



32

[解析]

∵a·c＝b·c，

∴|a|·|c|cos＝|b|·|c|cos，

即|a|cos＝|b|cos，故选D. 2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于(

) A．150°

C．60°

[答案]

B a·b－61[解析]

cosθ＝＝＝－.∴θ＝120°. |a||b|4×323．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为(

) A．2 C．23 [答案]

C [解析]

a在b方向上的投影为|a|cos＝4×cos30°＝23. 4．|m|＝2，m·n＝8，＝60°，则|n|＝(

) A．5 C．7 [答案]

D m·n[解析]

∵＝cos，

|m|·|n|∴81＝，∴|n|＝8. 2|n|2B．6 D．8 B．3 D．4 B．120°

D．30°

5．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(

) A．－53 C．－5 [答案]

A [解析]

a在x轴上的投影为|a|·cos150°＝－53. 6．若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b·b＋a·b等于(

) A．3 C．5 [答案]

C [解析]

b·b＋a·b＝|b|2＋|a|·|b|cos＝4＋1＝5. 二、填空题

7．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝____. [答案]

3 6

B．5 D．53 B．4 D．6

[解析]

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos30°

＝2×3×3＝3. 28．若|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影为________．

[答案]

－32 [解析]

∵|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，

∴a在b方向上的投影为|a|cos135°＝6×(－三、解答题

9．已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积．

→→(1)P1P2·P1P3；

→→(2)P1P2·P1P4；

→→(3)P1P2·P1P5；

→→(4)P1P2·P1P6. π→→[解析]

(1)∵＝，|P1P3|＝23. 6π→→→→∴P1P2·P1P3＝|P1P2|·|P1P3|cos

6＝2×23×3＝6. 22)＝－32. 2π→→→(2)∵＝，|P1P4|＝4，

3π→→∴P1P2·P1P4＝2×4×cos＝42. 4π→→(3)∵＝，

2→→∴P1P2·P1P5＝0. 2π→→(4)∵＝，

32π→→∴P1P2·P1P6＝2×2×cos＝－2. 3

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 7

基础巩固

一、选择题

1．已知a＝(2,1)、b＝(1，－2)，则向量a与b的夹角为(

) πA．

6πC．

3[答案]

D [解析]

由a·b＝2×1＋1×(－2)＝0，∴a⊥b. →→2．已知点A(1,2)、B(2,3)、C(－2,5)，则AB·AC等于(

) A．－1 C．1 [答案]

B →→→→[解析]

AB＝(1,1)，AC＝(－3,3)，AB·AC＝1×(－3)＋1×3＝0. 3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为(

) A．直角三角形

C．等腰直角三角形

[答案]

C →→[解析]

AB＝(3，－1)，AC＝(－1，－3)，

→→AB·AC＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，

→→且|AB|＝|AC|＝10.∴△ABC为等腰直角三角形．

4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(

) 1A．－

71C．－

6[答案]

A [解析]

∵a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，

∴λa＋b＝(－3λ－1,2λ) a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)，

由(λa＋b)⊥(a－2b)，

1得4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－. 78

πB．

4πD．

2B．0 D．2 B．等腰三角形

D．以上均不正确

1B．

71D．

6

5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝(

) A．5 C．5 [答案]

C [解析]

∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2

＝5＋20＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 6．

已知向量a＝(k,3)、b＝(1,4)、c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(

) 9A．－

2C．3 [答案]

C [解析]

本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a－3b＝(2k－3，－6)，又因为(2a－3b)⊥c，所以，(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝0，∴4k－6－6＝0，解得k＝3，本题根据条件也可以转化为2a·c－3b·c＝0化简求解．

二、填空题

7．

已知向量a＝(－4,3)、b＝(－3,4)，b在a方向上的投影是________．

[答案]

24

5B．0 15D．

2B．10 D．25 a·b－4×－3＋3×424[解析]

b在a方向上的投影为|b|cos〈b，a〉＝＝＝. |a|558．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________. [答案]

2 [解析]

a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，

∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，

1∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－，

2∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2. 三、解答题

9．已知A(2,3)、B(5,1)、C(9,7)、D(6,9)四点，试判断四边形ABCD的形状．

→→→→[解析]

∵AB＝(3，－2)，DC＝(3，－2)，∴AB＝DC. →→→又BC＝(4,6)，∴AB·BC＝3×4－2×6＝0，

→→→→→→∴AB⊥BC.∵|AB|＝9＋4＝13，|BC|＝16＋36＝213，∴|AB|≠|BC|，

故四边形ABCD是矩形．

能力提升

一、选择题

9

π1．

已知向量a＝(1，3)、b＝(3，m)，若向量a、b的夹角为，则实数m＝(

) 6A．23 C．0 [答案]

B [解析]

本题考查向量的坐标运算及数量积．

πa·b＝3＋3m＝|a|·|b|·cos

6＝2×9＋m2×3.解得，m＝3. 2B．3 D．－3 2．已知m＝(1,0)、n＝(1,1)，且m＋kn恰好与m垂直，则实数k的值为(

) A．1 C．1或－1 [答案]

B [解析]

m＋kn＝(1,0)＋k(1,1)＝(1＋k，k)，

∵m＋kn与m垂直，

∴(1＋k)×1＋k×0＝0，得k＝－1. 3．若向量a＝(1,2)、b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(

) πA．－

4πC．

4[答案]

C [解析]

本题考查了向量的坐标运算．

∵a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos<2a＋b，a－b>＝∴πa＋b，a－b＝. 44．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标是(

) A．B．C．525525或－，－

，－55553×0＋92＝，232·3πB．

63πD．

4B．－1 D．以上都不对

525525或－，

，－5555255255或－

，－，－5555255255D．－或

，，－5555[答案]

D [解析]

设与a垂直的单位向量的坐标是(x，y)，

10

x＋y＝1则2x＋4y＝022

x＝－255，解得5y＝5

x＝255，或5y＝－5

. 二、填空题

5．

设向量a＝(3,3)、b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________. [答案]

±3 [解析]

因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3. 6．

平面向量a＝(1,2)、b＝(4,2)、c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________. [答案]

2 [解析]

本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，由题a·cb·c意有：＝

|a||c||b||c|a·cb·c即：＝，代入得：

|a||b|m＋4＋4m＋44m＋16＋4m＋4＝，解得m＝2. 520三、解答题

7．设a＝(4，－3)、b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．

[解析]

a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，

(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5，

|a＋tb|＝4＋2t2＋t－32＝5t＋12＋20，

由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，

52得5t＋5＝t＋12＋4，

2即t2＋2t－3＝0，解得t＝－3或t＝1. 经检验知t＝－3不符合题意，舍去．所以t＝1. 8．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)分别确定λ的取值范围，使得：

(1)a与b夹角为90°；

(2)a与b夹角为钝角；

(3)a与b夹角为锐角．

[解析]

设＝θ，

1(1)由a⊥b得λ＝－. 211

(2)cosθ＝，由cosθ<0且

51＋λ21＋2λ1cosθ≠－1得λ<－. 21(3)由cosθ>0且cosθ≠1，得λ>－，且λ≠2. 29．已知a＝(3,4)、b＝(4,3)，求x、y的值使(xa＋yb)⊥a，且|xa＋yb|＝1. [解析]

∵a＝(3,4)，b＝(4,3)，∴xa＋yb＝(3x＋4y,4x＋3y)．

又(xa＋yb)⊥a，∴(xa＋yb)·a＝0，

∴3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0，

即25x＋24y＝0，

又|xa＋yb|＝1，∴|xa＋yb|2＝1，

∴(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1. 整理得25x2＋48xy＋25y2＝1，

即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1. 由①②有24xy＋25y2＝1，

将①变形代入③可得y＝±57. 当y＝5247时，x＝－35，

当y＝－5247时，x＝35. x＝24x＝－24所以35或y＝－5357

y＝57

.

12

②③①