小结优质课教学设计

第四章平面向量

第三讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

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[导学心语] 1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1)向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用．

2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用．

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

2．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 结论

模

数量积

夹角

几何表示

|a|＝a·a 坐标表示

2|a|＝x21＋y1

a·b＝|a||b|cos θ

cos θ＝a·b＝x1x2＋y1y2

cos θ＝a·b

|a||b|x1x2＋y1y2

222x2＋y·x＋y1122a⊥b a·b＝0

学情自测

x1x2＋y1y2＝0 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．(

) (2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.(

)

(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.(

) →→→→(4)在四边形ABCD中，AB＝DC且AC·BD＝0，则四边形ABCD为矩形. (

) 2．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________. 13→313. (2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝，，BC＝，，则∠ABC＝2222→(

) A．30°

C．60°

B．45°

D．120°

题型精炼

☞角度1 平面向量的模

(1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝(

) A.2 C．22 B．2 D．4 变式训练【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= ☞角度2 平面向量的夹角

(1)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为(

) A.C.π

62π

3B.D.π 35π

6☞角度3 平面向量的垂直

[2017年全国卷1 13]．已知向量a =（–1，2），b =（m，1）.若向量a+b与a垂直，则m=______________.

变式训练[2016新课标1理（13）]设向量a =(m,1)，b =(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= .

小结 [规律方法]

a·b1.求两向量的夹角：cos θ＝|a|·|b|，要注意θ∈[0，π]．

2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. 3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：

(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a. (2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2. 22(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y. ☞角度4 三角函数与平面向量的综合应用

例3-1

(2017·郑州质检)已知向量m＝(2sin ωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(3cos ωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π. (1)求ω的值；

→→(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sin B＝3sin A，求BA·BC的值．

例3-2．(2017·江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．

(1)若a∥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．

[变式训练]

(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，AB·AC＝－6，S△ABC＝3，求A和a.

→→