探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学内容

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

陈源

整体设计

教学分析

本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,是本章的一个难点. 学生已经学习了正弦函数和余弦函数，掌握了这两个函数的性质，图像和周期，那么，

如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的-主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系. 本节课充分利用多媒体,引导学生自主探究,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在. 三维目标

1.通过学生自主探究,理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. 2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图. 3.通过对问题的自主探究，培养学生独立思考的能力。并在小组交流中，学会合作意识，在解决问题的难点时，培养解决问题抓主要矛盾的思想！

重点难点

教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法. 教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程. 课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

情境导入

在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 新知探究

提出问题

①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？

②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这3两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值,

1

作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？

③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象. ④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=y=sin(x+,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为3). 3)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令3⑤类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+ω=2,φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系3中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系. 3⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？

活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得3的结论.并让学生讨论探究.最3φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.

图1 问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,3)3如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y值,y=sin(x+的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通3过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有3的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之33与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=,用43xB-xA、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+

2

同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合. 44 如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓. 问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论: y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到. 问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+象与y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图33)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律: 3

图2 如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+对应点的)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上331倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,211引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)223)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,3得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到31y=sin(x+)的图象. 23 当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系,得出类似的结3的图象与y=sin(x+论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论: 函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1倍(纵坐标不变)而得到.

3

图3 问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如33图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.33这说明,y=3sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸33y=3sin(2x+长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论: 函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当00,ω>0)的图象变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象. ⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节. 由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想. 讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察. ②略. ③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系. ④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状. ⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状. ⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移. 纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)

y=sinx的图象这原来的A倍(横坐标不变)(01)或缩短(1)横坐标伸长1到原来的(纵坐标不变)得y=Asinx的图象



4

得y=Asin(ωx)的图象向左(0)或缩短(1)平移||个单位

得y=Asin(ωx+φ)的图象. 规律总结: 先平移后伸缩的步骤程序如下: y=sinx的图象

平移||个单位长度1到原来(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)横坐标伸长(01)或缩短(1)

得y=sin(x+φ)的图象纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)

得y=sin(ωx+φ)的图象为原来的A倍(横坐标不变)得y=Asin(ωx+φ)的图象. 先伸缩后平移的步骤程序(见上). 应用示例

例1 画出函数y=3sin(2x+)的简图. 3,ω＝2,A＝3,鼓励学生根据本节所3 活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝学内容自己写出得到y=3sin(2x+)的图象的过程:只需把y＝sinx的曲线上所有点向左平3行移动个单位长度,得到y=sin(x+)的图象;再把后者所有点的横坐标缩短到原来的331/2(纵坐标不变),得到y=sin(2x+)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来3的3倍(横坐标不变)而得到函数y=3sin(2x+)的图象. 3

(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质. ),简图的方法,教师再进3一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=3sin(2x+)的简图,并鼓励学生动手3(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=3sin(2x+按“五点法”作图的要求完成这一画图过程. 解:方法一:画出函数y=3sin(2x+)简图的方法为

35

y=sinxy=sin(x+) 3纵坐标不变左移个单位3横坐标缩短到原来的1/2倍) 3y=sin(2x+)纵坐标伸长到原来的3倍

3横坐标不变y=3sin(2x+方法二:画出函数y=3sin(2x+)简图的又一方法为

3y=sin2x 左移个单位6y=sinx横坐标缩短到原来的1/2倍纵坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变y=3sin2xy=3sin(2x+) 3

变式训练

1.2007山东威海一模统考,12 要得到函数y=sin(2x+( ) )的图象,只需将函数y=sinx的图象3个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

3B.向右平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

31C.向左平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变

321D.向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变

32A.向左平移答案:C 2.2007山东菏泽一模统考,7 要得到函数y=2sin(3x图象( ) 5)的图象,只需将函数y＝2sin3x的个单位 B.向右平移个单位

55C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

1515A.向左平移答案:D 例2 将y=sinx的图象怎样变换得到函数y=2sin(2x+)+1的图象? 4 活动:可以用两种图象变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x而言的.由y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是y=sin2(x+)而不是88

6

1),把y=sin(x+)的图象的横坐标缩小到原来的,得到的函数图象的解析式842是y=sin(2x+),而不是y=sin2(x+). 44 解:方法一:①把y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度,得y=sin(x+)的图象；441②将所得图象的横坐标缩小到原来的,得y=sin(2x+)的图象；③将所得图象的纵坐标24伸长到原来的2倍,得y=2sin(2x+)的图象；④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位4长度得到y=2sin(2x+)+1的图象. 4y=sin(2x+ 方法二:①把y=sinx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sinx的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的位长度,得y=2sin2(x+y=2sin(2x+1,得y=2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单28)的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到8)+1的图象. 4 点评:三角函数图象变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响. 变式训练

1.将y=sin2x的图象怎样变换得到函数y=cos(2x-解:y=sin2x=cos()的图象? 4-2x)=cos(2x-). 22 在y=cos(2x-)中以x-a代x,有y=cos［2(x-a)-］=cos(2x-2a-).根据题意,有2222x-2a-=2x-,得a=-. 248 所以将y=sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y=cos(2x-)的图象. 842.如何由函数y=3sin(2x+)的图象得到函数y=sinx的图象？

3方法一:y=3sin(2x+)y=sin(2x+) 33向右平移1纵坐标缩短到原来的倍3倍3横坐标伸长到原来的2y=sin(x+)y=sinx. 3 方法二:y=3sin(2x+)=3sin2(x+)366y=3sin2x 向右平移

7

倍y=sin2x横坐标伸长到原来的2y=sinx. 3.2007山东高考,4 要得到函数y=sinx的图象,只需将函数y=cos(x-A.向右平移1纵坐标缩短到原来的倍3)的图象( ) 3个单位 B.向右平移个单位

63C.向左平移个单位 D.向左平移个单位

36答案:A 课堂小结

1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台. 2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象,并分别观察参3数φ、ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想. 作业

1.用图象变换的方法在同一坐标系内由y=sinx的图象画出函数y=2.要得到函数y=cos(2x-1sin(-2x)的图象. 2)的图象,只需将函数y=sin2x的图象通过怎样的变换得到? 43.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系. 解答:1.∵y=11sin(-2x)=sin2x,作图过程: 221纵坐标变为原来的倍2横坐标不变y=sinxy=1sin2x. y=sin2x纵坐标不变1横坐标变为原来的倍22)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+), 42448∴将曲线y=sin2x向左平移个单位长度即可. 82.∵y=cos(2x-3.∵y=cos2x+1,

∴将余弦曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1.

1倍,再将所得曲线上所有的点向上平2

8