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三角恒等变换与解三角形

考

点

考

情

三角函数的概念及诱导公式

1.对三角变换公式注重基础考查，并在综合试题中作同角三角函数基本关系式

为一种工具考查，主要考查利用各种三角公式进行求值与两角和与差的三角函数

化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、倍角公式

角的变换是常考的三角变换思想．如2014江苏15；安徽解三角形问题

6、16；新课标Ⅰ8等．2.正弦定理和余弦定理及解三角形问题是高考考查的重点，单独命题的频率较高，主要涉及以下几个问题：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；三角恒等变换与向量相结合问题

(3)面积的计算；(4)有关范围的问题．如2014年新课标Ⅱ4；山东12等.

1．两组三角公式

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式

①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β . (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式

①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. ③tan 2α＝2tan α1－tan2α. 2．两个定理

(1)正弦定理 abcsin A＝sin B＝sin C＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．

变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C; sin A＝a，sin B＝b，sin C＝c2R2R2R；

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

(2)余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－2bc，cos B＝2ac，cos C＝c22ab. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.

热点一

三角恒等变换

例1．⑴．（2014唐山一模）若sin()1263，则cos(32)（

）

A．79

B．79

C．229

D．9

⑵．(2014四川卷)已知函数f(x)sin(3x4)。

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若是第二象限角，f()435cos(4)cos2，求cossin的值．

练习．⑴．(2014皖南八校联考)sin22425,02，则2cos(4)的值为（

）

A．15

B．1715

C．5

D．5

⑵．（2014新课标全国卷Ⅰ）设(0,2),(0,2)，且tan1sincos，则(

) A．3

B．32

2

C．22

D．22⑶．（2014广东东莞一模）已知f(x)2cosx2(3sinx2cosx2)1,xR。

(1)求f(x)的最小正周期；(2)设,(0，82),f()2,f()5，求f()的值。

热点二

例2．⑴．（2014武汉联考）在ABC中，AA．利用正弦、余弦定理解三角形

⑵．(2014宁波模拟)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(2ca)cosBbcosA0

(1)若b2，求ABC的面积的最大值；(2)求3sinAsin(C

6,a1,b2，则B=

（

）

6)的取值范围。

353

B．

C．或

D．或

446446⑵．（2014江西卷）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2(ab)26,

C3，则ABC面积是(

)

A．3

B．9333

C．

D．33

22练习．⑴．(2014·湖南卷) 如图，在平面四边形ABCD中，AD1,CD2,AC7.

(1)求cosCAD的值；

(2)若cosBAD

721，sinCBA，求BC的长．

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规律技巧：三角恒等变换的通解通法：1.变角:通过变角沟通已知角与结论角，使之产生关系，常用的方法是:凑角，如(),2()()等；2.变名：通过切化弦、升幂降幂、诱导公式等使三角函数的名称减少；3.变式:根据式子的结构特征进行变形，使其达到某个期待目标，常用的方法有：逆用公式，平方与配方、常值代换等。

规律技巧：解决三角形问题时，要根据题目中所给的条件合理选择正余弦定理，若三角形的解不唯一，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理判断，在判断三角形形状时，特别要注意当转化为角来解决时，千万不要忽视角的取值范围。

(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．

(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．

(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．

(2014·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sin Acos A－3sin Bcos B. (1)求角C的大小；

(2)若sin A＝45，求△ABC的面积．

在锐角ABC中，BC1,B2A,则ACcosA的值等于

2

，AC的取值范围为

(2,3)

.

2011福建如图在ABC中，ABAC2,BC23，点D在BC上，ADC450

则AD的长度等于 2 。

A

B D C

⑶．（2014四川卷）

如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为670,300，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin6700.92,cos6700.39,sin3700.60,cos3700.80,31.73）

⑶．如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲.乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA12313,cosC5. (1)求索道AB的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

A

B

C

πππβπβα∈0，且tan α＝tan＋，所以α＝＋，即2α－β＝. 224242

(1)解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得

sin α1cos α＝＋sin βcos β，

即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，

∴sin(α－β)＝cos α＝sinπ2－α. ∵α∈0，π2，β∈π0，2，

∴α－β∈ππ－2，2，π2－α∈π0，2，

∴由sin(α－β)＝sinππ2－α，得α－β＝2－α，

∴2α－β＝π2，故选B. 8．C

[解析] tan α＝1＋sin βcosβ2＋sinβ2cos β＝＝

cos2β2β2－sin2cosβ

β2＋sinβ21＋tan＝2＝tanπ＋β，因为β∈0，ππβππcosβββ422，所以4＋2∈4，2，又2－sin21－tan2[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．

16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，

得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z. 所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kππ2kπ3，12＋3，k∈Z. (2)由已知，得sinα＋π＝45cosα＋π4(cos2α－sin24α)，

所以sin αcosππ4ππ4＋cos αsin4＝5cos α

cos4－sin

αsin4(cos2

α－sin2

α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．

当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，

得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，

此时，cos α－sin α＝－2. 当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54. 由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 18．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得

AC2＋AD2－CD2cos∠CAD＝2AC·AD，

故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－42727＝7. (2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD. 因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，

所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝

21－27721＝7，

2sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－3－714＝2114. 于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)

＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD

＝3212714×7－－714×217

＝32. 在△ABC中，由正弦定理，得BCACsin α＝sin∠CBA. 故BC＝AC·sin α7×32sin∠CBA＝21＝3. 6解:(1)∵cosA1213,cosC35 ∴A、C（0，2）∴sinA5413,sinC5 ∴sinBsin（AC）sin（AC）sinAcosCcosAsinC6365根据ABsinCACACsinB得ABsinBsinC1040m (2)设乙出发t分钟后,甲.乙距d2(130t)2(10050t)22130t(10050t)1213 ∴d2200(37t270t50) ∵0t1040130即0t8 ∴t3537时,即乙出发3537分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.

离为d,则