2.3.1 变量之间的相关关系教案1

变量间的相关关系

一、教材分析

学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算基础。

变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究选修2-3第三章3.2节回归分析思想的应用奠定基础。 二、教学目标

1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的推导过程，求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。

2、过程与方法：

①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。 ②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。

三、教学重点、难点

重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回归方程。

难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解，教学实施过程中的难点是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

四、教学设计）

（一）、创设情境

导入新课 1、相关关系的理解 （1）我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”物理成绩和数学成绩存在着某种联系，但又不是必然联系，这种不确定的关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。 （2）在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？

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图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。这条直线叫做回归直线。图3、4中的两个变量是非线性相关关系

。 （三）、循序渐进、延伸拓展

1、找回归直线

师：下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图，从整体上看，它们是线性相关的。如果可以求出回归直线的方程，我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性。这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。能否画出这条直线？ 数学实验1： 画出回归直线

脂肪含量40353025201510005脂肪含量403530脂肪含量403530252015105005101520253035年龄404550556065学生方案一 学生方案二

2520

1510055

101520253035404550556065年龄05101520253035404550556065年龄第一种 第二种

脂肪含量403530252015105005101520253035年龄404550556065多种方法展示

总结：

第二种方法好，因为所有的点离这条直线最近。从整体上看，各点与此直线的距离和最小。

2、利用最小二乘法推导回归系数公式

假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1,y1)(x2,y2)……(xn,yn)。当ˆbxia（i=1，2，……，n），它与实际收集自变量x取xi（i=1，2，……，n）时，可以得到yˆiyi(bxia)（i=1，2，……，n），这样用n个偏差的和来刻画“各到的yi之间的偏差是yiy第

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ˆi)，偏差有正有负，易抵消，所以采点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为(yiyi1nˆi，由于带绝对值计算不方便所以换成平方，用绝对值yiyi1nˆi)(y1bx1a)2(y2bx2a)2(y3bx3a)2(ynbxna)2现在的问题就归结为：当a，b取什Q(yiyi1n2么值时Q最小。

将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时 n

(xx)(yy)(xx)(yy)iinnii2i122i1(xix)bQna(ybx)(yy)inni122i1

(xix)(xix)i1i1n22b(xx)(yy)xynxyiiiii12(xx)ii1nnni1n2xinxi121n1n（其中xxi，yyi） ni1ni1aybx推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫

“最小二乘法”。

3、求出回归直线方程，并分析它的意义

利用最小二乘法就可以求出回归系数，进一步求出回归方程。

1n1nxxi表示自变量年龄的平均数，yyi表示因变量脂肪的平均数，

ni1ni12ixi1n表示自变量的平方和，xiyi表示自变量与因变量乘积的和。

i1nˆ0.5765x0.448 y（四）、线性回归分析思想在实际中的应用

总结：我们利用回归直线对年龄与脂肪的关系做了上述分析，这种分析方法叫做线性回归分析。利用这种分析方法可以对生活中的很多问题进行分析与预测。

例2某研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据

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x y （1）请画出上表数据的散点图；

6 2 8 3 10 5 12 6 ˆaˆbxˆ；

（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

例3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据。

x y 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5 （1）请画出上表数据的散点图。

（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程

（3）由（2）预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？

（参考数值：2*2.5+3*3+4*4+5*4.5=52.5）

五、课后小结

1.散点图

2.变量间的关系

3.回归直线方程的求法：

①先判断变量是否线性相关

②若线性相关，利用公式计算出a、b ③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测

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